А что является измерениями в этом пространстве?

,

,

? И есть ли какая-нибудь визуализация этого? Мне так проще в уме представлять.

Это стандартное пространство 4-векторов энергии-импульса.
В СТО многие величины классической механики объединяются в 4-векторы. Бывают и 4-тензоры. Подробно про это можно прочитать в ЛЛ-2, например. Или в ФЛФ, разбросанно от 2 до 6 тома. Каждый из таких 4-векторов образует своё пространство.
Визуализация: обычно говорят "возьмём чуть поменьше пространственных координат 4-векторов", и рассматривают 3-мерное пространство

или иногда 2-мерную плоскость

В первом случае - пользуются обычными пространственными образами конусов, гиперболоидов и т. п. Во втором - они превращаются даже в гиперболы и прямые линии. Но поскольку всё это - упрощение, то на словах продолжают говорить про конусы и гиперболоиды.
Полностью все 4 координаты, с тремя пространственными, нужны не всегда, а сравнительно редко. Ну, например, есть такая задача: летела одна частица, и распалась на три другие частицы. В пространстве все 4 импульса (читается так: "
в 3-мерном пространстве все 4 штуки 3-векторов импульса") располагаются некомпланарно, так что их никак не упростишь, приходится оставлять пространство полностью. Но если перейти в систему отсчёта первоначальной частицы (а это всегда можно сделать), то окажется, что 3-векторы импульса лежат в одной пространственной плоскости. И можно отбросить третью перпендикулярную координату.
4-тензоры визуализировать ещё сложней. Ну, с этим просто не будем торопиться. Тут ещё и спиноры...
Не очень понял, это так? Выразить

через

(или наоборот) и подставить в

?
Да, вполне годится.
-- 14.03.2016 12:56:08 --Тут я не понял:

- это просто какая-то (то есть потенциально любая) функция от

?
Да, правильно.
Так, по этому заданию нужна уже подсказка, я гляжу. Чтобы не путаться.
Что такое

? Это функция от одного аргумента. А сам аргумент равен

То есть, по сути, мы имеем здесь композицию функций:

где

- просто некая функция одного аргумента, а

- другая функция, принимающая на вход два аргумента, а на выход выдающая одно число.
Дальше я покажу одну частную производную, а потом вы сами.

по правилу дифференцирования сложной функции. И дальше:

Это понятно?
Так как

и

- валидные решения, то каждая из скобок равна нулю, то есть такая комбинация валидных решений сама является валидным решением.
Правильно.
Здесь то же самое: появляется тот же множитель

Совершенно верно.
Я хотел ответить на все вопросы, а потом уже публиковать ответ, но так что-то долго получается.
Ничего, не торопитесь. Мы тут и так пытаемся чуть ли не семестровую программу за раз проглотить.
-- 14.03.2016 13:08:58 --Что такое

? Просто какая-то функция или функция с какими-то особыми свойствами?
Это так называемая "дельта-функция" (
дельта-функция Дирака). На самом деле, это даже не функция, это "незаконная функция". Упрощённо говоря, можно представить себе её так:

Но такой "функции" не может быть, потому что нет никакого действительного числа, которому она равна в нуле. То есть, это не функция, а некое условное обозначение - обозначение некоей "точки единичной массы" в начале координат. Если мы будем брать распределение масс, например, равномерное по отрезку

то чем короче отрезок, тем больше у нас будет плотность на отрезке, чтобы сохранить полную массу единичной. И в пределе

плотность вся будет сосредоточена в одной точке, а по своему значению уйдёт в бесконечность. Вот то, что при этом получается, и называется дельта-функцией.
Хотя вычислить значение дельта-функции в точке 0 нельзя, но с дельта-функцией можно законно обращаться, беря от неё разные интегралы. Например, прежде всего:


Второй интеграл тоже имеет своё название - это "функция Хэвисайда" или "единичная ступенька". То есть, дельта-функцию можно определить как производную от функции Хэвисайда (сначала уточнив смысл, в котором будет "законно" брать такую "производную").
Если мы хотим сделать "точку заданной массы в заданном месте", то пишут

Если мы хотим сделать "точку единичной массы в трёхмерном пространстве", то пишут

Такая точка не получается "кубической", то есть не требует поправок при повороте системы координат. Ещё это же пишут иногда в виде

- тут бывает разнобой в обозначениях, и надо смотреть, какие обозначения вводит автор.
Дельта-функция помогает установить одну из важных аналогий между матанализом и линейной алгеброй. А именно, функцию можно представить себе как "бесконечномерный вектор", компоненты (координаты) которого - это просто значения функции в разных точках. Но тогда возникает вопрос, а что такое базисные векторы? В линейной алгебре мы записываем разложение

где

- числа, значения координат вектора, а

- базисные векторы, пронумерованные индексом, пробегающим значения

А в матанализе (точнее, уже в функциональном анализе) по аналогии можно записать

где

- числа, выполняющие роль "координат вектора", а

- функции, выполняющие роль "базисных векторов". Они "пронумерованы" параметром

пробегающим значения

И дальше эта аналогия используется для рассмотрения линейных дифференциальных уравнений (аналогично матричным уравнениям

), для рассмотрения линейных операторов, и так далее. Например, именно в этом смысле используются понятия "оператор дифференцирования", "дифференциальный оператор" и т. п.