Фундаментальная группа окружности

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, понять, почему фундаментальная группа окружности есть $\mathbb{Z}$. У меня упорно получается, что $\pi_1(S^1) = 1$.
Окружность рассматриваю так, как на рисунке.

Берем, например, следующие петли: $f(t) = t,\,t \in [0,1]$, $g(t) = 2t,\, t \in [0,1]$.
Гомотопию $H:[0,1]\times[0,1]\rightarrow S^1$ определим как $H(s,t) = (1+s) t,$ что соответствует правой части рисунка. Получается, что петля с двойным обходом гомотопна петле с одним обходом, чего быть не должно.

[Brukvalub]

Grabovskiy в сообщении #1108437 писал(а):

Берем, например, следующие петли: $f(t) = t,\,t \in [0,1]$, $g(t) = 2t,\, t \in [0,1]$.

Вы не выучили определение петли. Попробуйте выучить.

[Grabovskiy]

Brukvalub в сообщении #1108440 писал(а):

Grabovskiy в сообщении #1108437 писал(а):

Берем, например, следующие петли: $f(t) = t,\,t \in [0,1]$, $g(t) = 2t,\, t \in [0,1]$.

Вы не выучили определение петли. Попробуйте выучить.

А что здесь не так? Подразумеваю, что $g(t) = 2t \mod 1$

[Brukvalub]

Grabovskiy в сообщении #1108442 писал(а):

А что здесь не так? Подразумеваю, что $g(t) = 2t \mod 1$

Напишите здесь определение петли.

[Grabovskiy]

Brukvalub в сообщении #1108445 писал(а):

Grabovskiy в сообщении #1108442 писал(а):

А что здесь не так? Подразумеваю, что $g(t) = 2t \mod 1$

Напишите здесь определение петли.

Петля -- это непрерывное отображение $g:[0,1] \rightarrow S^1$ (в нашем случае) такое, что $g(0) = g(1)$. Если $g(t) = 2t \mod 1$, то $g$ непрерывно и $g(0) = 0 = g(1) = 2 = 0$.

[Brukvalub]

Grabovskiy в сообщении #1108446 писал(а):

$g(t) = 2t \mod 1$, то $g$ непрерывно и $g(0) = 0 = g(1) = 2 = 0$.

Ага, особенно сильно оно непрерывно в точке $0,5$ .

[Xaositect]

Brukvalub в сообщении #1108448 писал(а):

Ага, особенно сильно оно непрерывно в точке $0,5$ .

Не, тут как раз все хорошо (я так понимаю, окружность определяется как $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$).

Проблема с гомотопией:

Grabovskiy в сообщении #1108437 писал(а):

Гомотопию $H:[0,1]\times[0,1]\rightarrow S^1$ определим как $H(s,t) = (1+s) t,$ что соответствует правой части рисунка. Получается, что петля с двойным обходом гомотопна петле с одним обходом, чего быть не должно.

У гомотопии должно быть $H(s, 0) = 0$, $H(s, 1) = 0$ при любом $s$.

[Brukvalub]

Xaositect, у меня рисунок ТС никак не совмещался с написанным им "уравнением петли", но, благодаря Вашему разъяснению, наконец, совместился.

[Grabovskiy]

Xaositect в сообщении #1108451 писал(а):

У гомотопии должно быть $H(s, 0) = 0$, $H(s, 1) = 0$ при любом $s$.

Объясните, пожалуйста, почему должно быть так. Я понимаю, что проблема должна быть в гомотопии.
Вот, к примеру, если рассматривать, для наглядности, единичную окружность в $\mathbb{R}^2$, задать петли $f$ и $g$ соотношениями

$$f(t):= (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t), \, t \in [0,1],$$

$$g(t):=(\cos4\pi t , \sin 4 \pi t), \, t \in [0,1], $$

то разве отображение

$$H(s,t) := (\cos (2+2s)\pi t, \sin (2+2s) \pi t), \, (s,t) \in [0,1]\times[0,1] $$

будет разрывным?

[Xaositect]

Grabovskiy в сообщении #1108490 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему должно быть так.

По определению гомотопии. Проблема не с непрерывностью, проблема в том, что при гомотопии концы пути должны быть фиксированы.

[Brukvalub]

Xaositect в сообщении #1108496 писал(а):

По определению гомотопии. Проблема не с непрерывностью, проблема в том, что при гомотопии концы пути должны быть фиксированы.

Иначе любой непрерывный путь можно было бы, двигаясь прямо по нему, непрерывно стянуть в точку.

[Grabovskiy]

Xaositect в сообщении #1108496 писал(а):

Grabovskiy в сообщении #1108490 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему должно быть так.

По определению гомотопии. Проблема не с непрерывностью, проблема в том, что при гомотопии концы пути должны быть фиксированы.

Я заметил, что не везде есть это требование. Вот нашел, к примеру, лекцию по фундаментальной группе https://www.youtube.com/watch?v=J7--sI4A6D0&index=25&list=PL41FDABC6AA085E78 (6:25), где действительно требуют фиксации концов пути. Но вот есть определения из некоторых книг, где такого требования нет, чем я и руководствовался.
Фукс, Фоменко, Курс гомотопической топологии, стр.26:

Или Виро, Нецветаев, Харламов, Иванов, Элементарная топология, стр 183-184

(только у меня аргументы были поменяны местами)

Быть может, в фундаментальных группах сужают понятие гомотопии?

[arseniiv]

В любом случае, здесь надо, чтобы

Xaositect в сообщении #1108451 писал(а):

$H(s, 0) = 0$, $H(s, 1) = 0$ при любом $s$

потому что здесь подходит не любая гомотопия, а только «сохраняющая петельность». Нельзя на время размыкать петлю, нужно оставлять её петлёй от начала до конца.

[tolstopuz]

Фундаментальная группа определяется не просто через гомотопии, а через гомотопии путей.

[Grabovskiy]

tolstopuz в сообщении #1108510 писал(а):

Фундаментальная группа определяется не просто через гомотопии, а через гомотопии путей
.

Да, не дочитал, не знал, что есть еще гомотопия путей.

Большое спасибо всем за помощь!