2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 12:17 


16/01/14
73
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, понять, почему фундаментальная группа окружности есть $\mathbb{Z}$. У меня упорно получается, что $\pi_1(S^1) = 1$.
Окружность рассматриваю так, как на рисунке.
Изображение
Берем, например, следующие петли: $f(t) = t,\,t \in [0,1]$, $g(t) = 2t,\, t \in [0,1]$.
Гомотопию $H:[0,1]\times[0,1]\rightarrow S^1$ определим как $H(s,t) = (1+s) t,$ что соответствует правой части рисунка. Получается, что петля с двойным обходом гомотопна петле с одним обходом, чего быть не должно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Grabovskiy в сообщении #1108437 писал(а):
Берем, например, следующие петли: $f(t) = t,\,t \in [0,1]$, $g(t) = 2t,\, t \in [0,1]$.

Вы не выучили определение петли. Попробуйте выучить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 12:24 


16/01/14
73
Brukvalub в сообщении #1108440 писал(а):
Grabovskiy в сообщении #1108437 писал(а):
Берем, например, следующие петли: $f(t) = t,\,t \in [0,1]$, $g(t) = 2t,\, t \in [0,1]$.

Вы не выучили определение петли. Попробуйте выучить.


А что здесь не так? Подразумеваю, что $g(t) = 2t  \mod 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Grabovskiy в сообщении #1108442 писал(а):
А что здесь не так? Подразумеваю, что $g(t) = 2t  \mod 1$

Напишите здесь определение петли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 12:36 


16/01/14
73
Brukvalub в сообщении #1108445 писал(а):
Grabovskiy в сообщении #1108442 писал(а):
А что здесь не так? Подразумеваю, что $g(t) = 2t  \mod 1$

Напишите здесь определение петли.


Петля -- это непрерывное отображение $g:[0,1] \rightarrow S^1$ (в нашем случае) такое, что $g(0) =  g(1)$. Если $g(t) = 2t \mod 1$, то $g$ непрерывно и $g(0) = 0 = g(1) = 2 = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Grabovskiy в сообщении #1108446 писал(а):
$g(t) = 2t \mod 1$, то $g$ непрерывно и $g(0) = 0 = g(1) = 2 = 0$.

Ага, особенно сильно оно непрерывно в точке $0,5$ . :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Brukvalub в сообщении #1108448 писал(а):
Ага, особенно сильно оно непрерывно в точке $0,5$ . :D
Не, тут как раз все хорошо (я так понимаю, окружность определяется как $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$).

Проблема с гомотопией:
Grabovskiy в сообщении #1108437 писал(а):
Гомотопию $H:[0,1]\times[0,1]\rightarrow S^1$ определим как $H(s,t) = (1+s) t,$ что соответствует правой части рисунка. Получается, что петля с двойным обходом гомотопна петле с одним обходом, чего быть не должно.
У гомотопии должно быть $H(s, 0) = 0$, $H(s, 1) = 0$ при любом $s$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Xaositect, у меня рисунок ТС никак не совмещался с написанным им "уравнением петли", но, благодаря Вашему разъяснению, наконец, совместился. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 15:51 


16/01/14
73
Xaositect в сообщении #1108451 писал(а):
У гомотопии должно быть $H(s, 0) = 0$, $H(s, 1) = 0$ при любом $s$.


Объясните, пожалуйста, почему должно быть так. Я понимаю, что проблема должна быть в гомотопии.
Вот, к примеру, если рассматривать, для наглядности, единичную окружность в $\mathbb{R}^2$, задать петли $f$ и $g$ соотношениями
$$f(t):= (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t), \, t \in [0,1],$$
$$g(t):=(\cos4\pi t , \sin 4 \pi t), \, t \in [0,1], $$
то разве отображение
$$H(s,t) := (\cos (2+2s)\pi t, \sin (2+2s) \pi t), \, (s,t) \in [0,1]\times[0,1] $$
будет разрывным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Grabovskiy в сообщении #1108490 писал(а):
Объясните, пожалуйста, почему должно быть так.
По определению гомотопии. Проблема не с непрерывностью, проблема в том, что при гомотопии концы пути должны быть фиксированы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Xaositect в сообщении #1108496 писал(а):
По определению гомотопии. Проблема не с непрерывностью, проблема в том, что при гомотопии концы пути должны быть фиксированы.

Иначе любой непрерывный путь можно было бы, двигаясь прямо по нему, непрерывно стянуть в точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 18:08 


16/01/14
73
Xaositect в сообщении #1108496 писал(а):
Grabovskiy в сообщении #1108490 писал(а):
Объясните, пожалуйста, почему должно быть так.
По определению гомотопии. Проблема не с непрерывностью, проблема в том, что при гомотопии концы пути должны быть фиксированы.


Я заметил, что не везде есть это требование. Вот нашел, к примеру, лекцию по фундаментальной группе https://www.youtube.com/watch?v=J7--sI4A6D0&index=25&list=PL41FDABC6AA085E78 (6:25), где действительно требуют фиксации концов пути. Но вот есть определения из некоторых книг, где такого требования нет, чем я и руководствовался.
Фукс, Фоменко, Курс гомотопической топологии, стр.26:
Изображение
Или Виро, Нецветаев, Харламов, Иванов, Элементарная топология, стр 183-184
Изображение
(только у меня аргументы были поменяны местами)

Быть может, в фундаментальных группах сужают понятие гомотопии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 18:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
В любом случае, здесь надо, чтобы
Xaositect в сообщении #1108451 писал(а):
$H(s, 0) = 0$, $H(s, 1) = 0$ при любом $s$
потому что здесь подходит не любая гомотопия, а только «сохраняющая петельность». Нельзя на время размыкать петлю, нужно оставлять её петлёй от начала до конца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 18:29 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Фундаментальная группа определяется не просто через гомотопии, а через гомотопии путей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа окружности
Сообщение22.03.2016, 18:40 


16/01/14
73
tolstopuz в сообщении #1108510 писал(а):
Фундаментальная группа определяется не просто через гомотопии, а через гомотопии путей
.

Да, не дочитал, не знал, что есть еще гомотопия путей.

Большое спасибо всем за помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group