Объясните, пожалуйста, почему должно быть так.
По определению гомотопии. Проблема не с непрерывностью, проблема в том, что при гомотопии концы пути должны быть фиксированы.
Я заметил, что не везде есть это требование. Вот нашел, к примеру, лекцию по фундаментальной группе
https://www.youtube.com/watch?v=J7--sI4A6D0&index=25&list=PL41FDABC6AA085E78 (6:25), где действительно требуют фиксации концов пути. Но вот есть определения из некоторых книг, где такого требования нет, чем я и руководствовался.
Фукс, Фоменко, Курс гомотопической топологии, стр.26:
Или Виро, Нецветаев, Харламов, Иванов, Элементарная топология, стр 183-184
(только у меня аргументы были поменяны местами)
Быть может, в фундаментальных группах сужают понятие гомотопии?