Пространтсво Эль пэ

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Подскажите, пожалуйста, где можно посмотреть доказательство того, что $L_\mathbb{R}^p \subset L_\mathbb{R}^q$ при $p<q$.

[Mikhail_K]

Нигде. Это попросту неверно.
Например, функция $f(x)$, равная $x^{-3/4}$ на отрезке $[-1,1]$ и равная нулю вне этого отрезка, интегрируема на всей оси $\mathbb{R}$ ($p=1$), но не интегрируема с квадратом ($q=2$).
Обратное включение также неверно: функция $g(x)$, равная нулю на отрезке $[-1,1]$ и равная $x^{-3/4}$ вне этого отрезка, не интегрируема на всей оси, но интегрируема с квадратом.

[Brukvalub]

Это верно только для пространства конечной меры и $p>1$ , причем получается тривиальным применением неравенства Гёльдера.

[Mikhail_K]

Brukvalub в сообщении #1107878 писал(а):

Это верно только для пространства конечной меры

Да нет, указанное ТС включение неверно и для пространств конечной меры тоже. Посмотрите, в какую сторону включение.

[Brukvalub]

Mikhail_K, такие нелепые ошибки я отыскиваю совсем уж с трудом!

[Mikhail_K]

Brukvalub в сообщении #1107882 писал(а):

Mikhail_K, такие нелепые ошибки я отыскиваю совсем уж с трудом!

Видимо, он прочитал, что для конечных отрезков чем больше $p$, тем пространство уже, и что для всей прямой это неверно, и вообразил, что для всей прямой всё ровно наоборот.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1107883 писал(а):

и вообразил, что для всей прямой всё ровно наоборот.

Он правильно вообразил в том смысле, что для последовательностей (т.е. для прямой с некоей дискретной мерой) всё и впрямь наоборот. Но вообще глюк, конечно, странный.