2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 11:34 


25/11/08
449
Пусть $X$ — метрическое топологическое пространство без изолированных точек. Нужно для каждой точки $\alpha \in X$ построить последовательность $\{x_{\alpha,n}\}$ такую, что $x_{\alpha,n}\to \alpha$ при $n\to\infty$, и так, чтобы никакой элемент не встречался одновременно в бесконечном числе таких последовательностей. Возможно ли это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Хм... а если взять постоянные последовательности? Каждый элемент будет только в одной!

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8484
Поэтому, чтобы задача не была такой тривиальной, надо потребовать, чтобы все построенные последовательности были нестационарны:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 12:32 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ellipse
Мне кажется, средство круче цели...
Для счетного множества без изолированных точек построить Ваши последовательности легко:
занумеруем точки; для каждой точки построим последовательность, сходящуюся к этой точке, и не содержащую эту точку; выбросим из последовательности, сходящейся к точке с номером $n$ все точки с номерами, не превышающими $n$.
Осталось: представить м.п. без изолированных точек в виде объединения счетных множеств без изолированных точек...

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 12:33 


25/11/08
449
provincialka в сообщении #1107822 писал(а):
Хм... а если взять постоянные последовательности? Каждый элемент будет только в одной!
Постоянные нельзя. Вообще, я хочу построить функцию, которая в окрестности каждой точки принимает сколь угодно большие значения. Именно на этих последовательностях хочу ее определить. Например, положить $f(x_{\alpha,n}) = n$. Для сепарабельного случая получается так. Пересчитаем счетное множество и положим значение функции на элементе счетного множества равным его номеру. В окрестности любой точки бесконечно много счетных элементов, а значит среди них есть элементы со сколь угодно большими номерами. Теперь хочу обобщить на случай несепарабельного пр-ва.

-- Сб мар 19, 2016 12:38:39 --

DeBill в сообщении #1107830 писал(а):
Осталось: представить м.п. без изолированных точек в виде объединения счетных множеств без изолированных точек...
А как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 13:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ellipse в сообщении #1107831 писал(а):
А как это сделать?

Нда, как то не стало легче...
Может, попробовать "лемму о свадьбах" в её бесконечном варианте?
Типа, так: для каждой точки $a$ (мальчика) рассмотрим счетную систему (девочек) ее проколотых (попарно различных) окрестностей (шаров) $U_n(a)$, радиусы которых стремятся к нулю. Мальчик $b$ дружит с девочкой $U$, если $b \in U$. По лемме о свадьбах, можно всех девочек отдать замуж за разных (знакомых) мальчиков: каждой $U_n(a)$ назначить мальчика $b_n(a)$. Эти мальчики при $n \to \infty $ дружно сходятся к $a$... Вот только проверка условия леммы "мощность мальчиков, знакомых с данной кучей девочек, не меньше мощности этой кучи, для всех куч", блин, опять кака-то нетривиальная.... :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 15:47 
Аватара пользователя


31/03/13
25
ellipse, кстати, функцию, неограниченную на каждом шаре, можно определить с помощью (локально конечного) разбиения единицы, не мучаясь с тем, чтобы $\{x_{\alpha,n}\}$ почти не пересекались. Правда, это опирается на нетривиальный факт о паракомпактности метрического пространства.

UPD. Поторопился. С разбиением единицы есть похожая проблема. Нужно каждой точке $x_\alpha$ соотнести элемент разбиения единицы $\varphi_\alpha$, т.ч. $\varphi_\alpha(x_\alpha) > 0$, чтобы одно $\varphi_\alpha$ не соотвествовало бесконечному числу иксов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
ellipse в сообщении #1107831 писал(а):
Например, положить $f(x_{\alpha,n}) = n$.
А что Вы будете делать, если для каких-нибудь $\alpha\neq\beta$ и $m\neq n$ окажется $x_{\alpha,n}=x_{\beta,m}$? Вообще-то, выкрутиться можно, но построить такое семейство последовательностей…

Кстати, обращаю ваше внимание на метризационные критерии Бинга — Нагаты — Смирнова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 18:59 


25/11/08
449
Someone в сообщении #1107887 писал(а):
А что Вы будете делать, если для каких-нибудь $\alpha\neq\beta$ и $m\neq n$ окажется $x_{\alpha,n}=x_{\beta,m}$?
В этом и вся проблема. Если элементов вида $x_{\alpha,n}$ равных данному $x$ конечное число, то можно положить значением $f(x)$ максимальный индекс $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Так плюньте Вы на эти последовательности и воспользуйтесь метризационным критерием Бинга. С его помощью нужная функция строится легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 20:39 


25/11/08
449
Someone в сообщении #1107904 писал(а):
Так плюньте Вы на эти последовательности и воспользуйтесь метризационным критерием Бинга. С его помощью нужная функция строится легко.


Цитата:
Критерий Бинга.
База $\mathcal B$ пространства $X$ называется регулярной (равномерной), если для всякой точки $x\in X$ и любой её окрестности $O_x$ найдется окрестность $U_x$ этой точки такая, что число элементов базы $\mathcal B$, пересекающих одновременно $U_x$ и дополнение к $O_x$, конечно (соответственно, если множество элементов $\Omega\in \mathcal B$ таких что $\Omega\ni x, \Omega\not\subset O_x$ конечно).
Для метризуемости $T_1$-пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.
Не очень понимаю критерий. Если для примера в $\mathbb R^2$ в качестве базы взять все шары, разве условия критерия будут выполнены? Какие бы два шарика не взяли, найдется бесконечно много шариков, которые с ними пересекаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ellipse в сообщении #1107921 писал(а):
Если для примера в $\mathbb R^2$ в качестве базы взять все шары, разве условия критерия будут выполнены?
Это означает, что вы взяли нерегулярную базу. Вот если жена пошлет меня в магазин за капустой, а я принесу пива, то что это означает? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 22:07 


25/11/08
449
Brukvalub в сообщении #1107930 писал(а):
Это означает, что вы взяли нерегулярную базу.
Тоже об этом подумал. А какая же база будет регулярной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ellipse в сообщении #1107935 писал(а):
А какая же база будет регулярной?
Вы хотите подумать, или только получать готовые ответы на простые вопросы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности для каждой точки
Сообщение19.03.2016, 22:38 


25/11/08
449
Brukvalub в сообщении #1107939 писал(а):
Вы хотите подумать, или только получать готовые ответы на простые вопросы?
Хочу подумать. Была идея взять шары диаметра $1/n$, но как выбрать центры, если пр-во несепарабельное. Даже если центры рациональные, все равно пересекается бесконечно много. Эту базу хоть можно конструктивно построить или эта теорема дает лишь существование?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group