Последовательности для каждой точки

[ellipse]

Пусть $X$ — метрическое топологическое пространство без изолированных точек. Нужно для каждой точки $\alpha \in X$ построить последовательность $\{x_{\alpha,n}\}$ такую, что $x_{\alpha,n}\to \alpha$ при $n\to\infty$, и так, чтобы никакой элемент не встречался одновременно в бесконечном числе таких последовательностей. Возможно ли это сделать?

[provincialka]

Хм... а если взять постоянные последовательности? Каждый элемент будет только в одной!

[Anton_Peplov]

Поэтому, чтобы задача не была такой тривиальной, надо потребовать, чтобы все построенные последовательности были нестационарны:)

[DeBill]

ellipse
Мне кажется, средство круче цели...
Для счетного множества без изолированных точек построить Ваши последовательности легко:
занумеруем точки; для каждой точки построим последовательность, сходящуюся к этой точке, и не содержащую эту точку; выбросим из последовательности, сходящейся к точке с номером $n$ все точки с номерами, не превышающими $n$.
Осталось: представить м.п. без изолированных точек в виде объединения счетных множеств без изолированных точек...

[ellipse]

provincialka в сообщении #1107822 писал(а):

Хм... а если взять постоянные последовательности? Каждый элемент будет только в одной!

Постоянные нельзя. Вообще, я хочу построить функцию, которая в окрестности каждой точки принимает сколь угодно большие значения. Именно на этих последовательностях хочу ее определить. Например, положить $f(x_{\alpha,n}) = n$. Для сепарабельного случая получается так. Пересчитаем счетное множество и положим значение функции на элементе счетного множества равным его номеру. В окрестности любой точки бесконечно много счетных элементов, а значит среди них есть элементы со сколь угодно большими номерами. Теперь хочу обобщить на случай несепарабельного пр-ва.

-- Сб мар 19, 2016 12:38:39 --

DeBill в сообщении #1107830 писал(а):

Осталось: представить м.п. без изолированных точек в виде объединения счетных множеств без изолированных точек...

А как это сделать?

[DeBill]

ellipse в сообщении #1107831 писал(а):

А как это сделать?

Нда, как то не стало легче...
Может, попробовать "лемму о свадьбах" в её бесконечном варианте?
Типа, так: для каждой точки $a$ (мальчика) рассмотрим счетную систему (девочек) ее проколотых (попарно различных) окрестностей (шаров) $U_n(a)$, радиусы которых стремятся к нулю. Мальчик $b$ дружит с девочкой $U$, если $b \in U$. По лемме о свадьбах, можно всех девочек отдать замуж за разных (знакомых) мальчиков: каждой $U_n(a)$ назначить мальчика $b_n(a)$. Эти мальчики при $n \to \infty $ дружно сходятся к $a$... Вот только проверка условия леммы "мощность мальчиков, знакомых с данной кучей девочек, не меньше мощности этой кучи, для всех куч", блин, опять кака-то нетривиальная....

[quartermind]

ellipse, кстати, функцию, неограниченную на каждом шаре, можно определить с помощью (локально конечного) разбиения единицы, не мучаясь с тем, чтобы $\{x_{\alpha,n}\}$ почти не пересекались. Правда, это опирается на нетривиальный факт о паракомпактности метрического пространства.

UPD. Поторопился. С разбиением единицы есть похожая проблема. Нужно каждой точке $x_\alpha$ соотнести элемент разбиения единицы $\varphi_\alpha$, т.ч. $\varphi_\alpha(x_\alpha) > 0$, чтобы одно $\varphi_\alpha$ не соотвествовало бесконечному числу иксов.

[Someone]

ellipse в сообщении #1107831 писал(а):

Например, положить $f(x_{\alpha,n}) = n$.

А что Вы будете делать, если для каких-нибудь $\alpha\neq\beta$ и $m\neq n$ окажется $x_{\alpha,n}=x_{\beta,m}$? Вообще-то, выкрутиться можно, но построить такое семейство последовательностей…

Кстати, обращаю ваше внимание на метризационные критерии Бинга — Нагаты — Смирнова.

[ellipse]

Someone в сообщении #1107887 писал(а):

А что Вы будете делать, если для каких-нибудь $\alpha\neq\beta$ и $m\neq n$ окажется $x_{\alpha,n}=x_{\beta,m}$?

В этом и вся проблема. Если элементов вида $x_{\alpha,n}$ равных данному $x$ конечное число, то можно положить значением $f(x)$ максимальный индекс $n$.

[Someone]

Так плюньте Вы на эти последовательности и воспользуйтесь метризационным критерием Бинга. С его помощью нужная функция строится легко.

[ellipse]

Someone в сообщении #1107904 писал(а):

Так плюньте Вы на эти последовательности и воспользуйтесь метризационным критерием Бинга. С его помощью нужная функция строится легко.

Цитата:

Критерий Бинга.
База $\mathcal B$ пространства $X$ называется регулярной (равномерной), если для всякой точки $x\in X$ и любой её окрестности $O_x$ найдется окрестность $U_x$ этой точки такая, что число элементов базы $\mathcal B$, пересекающих одновременно $U_x$ и дополнение к $O_x$, конечно (соответственно, если множество элементов $\Omega\in \mathcal B$ таких что $\Omega\ni x, \Omega\not\subset O_x$ конечно).
Для метризуемости $T_1$-пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

Не очень понимаю критерий. Если для примера в $\mathbb R^2$ в качестве базы взять все шары, разве условия критерия будут выполнены? Какие бы два шарика не взяли, найдется бесконечно много шариков, которые с ними пересекаются.

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #1107921 писал(а):

Если для примера в $\mathbb R^2$ в качестве базы взять все шары, разве условия критерия будут выполнены?

Это означает, что вы взяли нерегулярную базу. Вот если жена пошлет меня в магазин за капустой, а я принесу пива, то что это означает?

[ellipse]

Brukvalub в сообщении #1107930 писал(а):

Это означает, что вы взяли нерегулярную базу.

Тоже об этом подумал. А какая же база будет регулярной?

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #1107935 писал(а):

А какая же база будет регулярной?

Вы хотите подумать, или только получать готовые ответы на простые вопросы?

[ellipse]

Brukvalub в сообщении #1107939 писал(а):

Вы хотите подумать, или только получать готовые ответы на простые вопросы?

Хочу подумать. Была идея взять шары диаметра $1/n$, но как выбрать центры, если пр-во несепарабельное. Даже если центры рациональные, все равно пересекается бесконечно много. Эту базу хоть можно конструктивно построить или эта теорема дает лишь существование?