2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Квантовая Механика
Сообщение18.03.2016, 22:02 


11/12/14
148
Здрваствуйте, у меня вопросы по двум задачам:

1) Идеальный упругий мяч радиусом $R$ падает в вакууме на закрепленный идеально упругий шар того же радиуса с высоты $H = 10R$. Пренебрегая движением Земли, вычислить наибольшее число отскоков мяча от неподвижного шара при наиболее благоприятных условиях.

Меня испугал ответ, который в задачнике вот такой: $N\approx1+ln(\frac{mg^\frac{1}{2}R^\frac{3}{2}}{\hbar\sqrt{5}})/ln\frac{4H}{R}$

Сразу видно, что из обычных школьных формул его не выудишь, да и к тому же тема "квантовая механика". Я попробовал поискать все, что связано с этим, но непонятно, что здесь применять вообще. Видимо, раз такое неточное число, то есть вероятность, что мяч отскочит в сторону (или нет, раз наиболее благоприятные условия?). Я знаю, что нужно предлагать решение какое-то, но тут просто ничего не получается придумать. Поэтому прошу помочь, пожалуйста.

2)В газе, имеющем температуру $T$ и плотность $\rho$, взвешены шарообразные частицы радиусом $r$. Концентрация частиц на высоте $h$ вдвое меньше, чем при $h=0$. Найти массу взвешенных частиц.

В общем я решил применить распределение Больцмана, которое записано в виде $n = n_0e^\frac{-mgh}{kT}$, где $n$ - концентрация частиц на высоте $h$, $n_0$ - начальная концентрация ($h=0$). В моей задаче $n = 0.5n_0$. Поэтому подставляем и выражаем $m=\frac{kTln2}{gh}$.

Но вот в чем вопрос. В ответе написано $m = \frac{kTln2}{gh}+\frac{4\pi}{3}r^3\rho$. Второе слагаемое, как я понимаю, вес одной частицы. Но каким образом так получается? Ведь в распределении Больцмана уже посчитан вес якобы всех частиц, или все-таки я не так формулу применяю? (что наиболее вероятно). Просто добавление веса одной частицы выглядит странно. (если это он вообще). Прошу помочь тоже, собственно.

Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение18.03.2016, 22:35 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TripleLucker в сообщении #1107726 писал(а):
Второе слагаемое, как я понимаю, вес одной частицы.
Ну, положим, не вес, а масса. Посмотрите внимательнее: это объем частицы, умноженный на плотность газа. Ни на какие мысли такое сочетание не наводит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение18.03.2016, 22:49 


11/12/14
148
Да, это глупо было написать "вес" с моей стороны, прошу прощения.
Я как раз думал об этом, что именно плотность газа. Это получается, масса газа, который в форме одной из взвешенных частиц. Но я все равно не понимаю, откуда такое возникнуть может. Это, будто бы, частица "заполнилась" газом, который был вокруг нее. :/

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение18.03.2016, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5302
ФТИ им. Иоффе СПб
TripleLucker в сообщении #1107726 писал(а):
Я попробовал поискать все, что связано с этим, но непонятно, что здесь применять вообще.
Попробуйте применить соотношение неопределенности, если знаете, что это за зверь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение18.03.2016, 23:01 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TripleLucker в сообщении #1107739 писал(а):
Но я все равно не понимаю, откуда такое возникнуть может.
Ох... ну ладно, совсем уж прозрачная подсказка: пусть плотность частиц совпадает с плотностью газа. Будет ли концентрация частиц на разных высотах отличаться? Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение18.03.2016, 23:02 


11/12/14
148
amon в сообщении #1107740 писал(а):
TripleLucker в сообщении #1107726 писал(а):
Я попробовал поискать все, что связано с этим, но непонятно, что здесь применять вообще.
Попробуйте применить соотношение неопределенности, если знаете, что это за зверь.


Если имеется в виду $\Delta x\Delta p\geqslant\frac{\hbar}{2}$, то знаю. Но я уже смотрел на него и оно, конечно, сюда хорошо подходит, импульс и отклонение есть. Но мы среднеквадратические отклонения искали только через волновые функции, а тут такой нет. А по таким начальным данным я не особо понимаю, как высчитать эти вещи. :/

-- 19.03.2016, 02:11 --

Pphantom в сообщении #1107743 писал(а):
TripleLucker в сообщении #1107739 писал(а):
Но я все равно не понимаю, откуда такое возникнуть может.
Ох... ну ладно, совсем уж прозрачная подсказка: пусть плотность частиц совпадает с плотностью газа. Будет ли концентрация частиц на разных высотах отличаться? Почему?


Мне кажется, что в числителе степени экспоненты должна стоять разность плотностей среды и частиц, поэтому при совпадении получится 0, а из этого следует, что от высоты концентрация не зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение18.03.2016, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5302
ФТИ им. Иоффе СПб
TripleLucker в сообщении #1107744 писал(а):
я не особо понимаю, как высчитать эти вещи.
Если Вы каждый раз точно попадаете в центр закрепленного шара, то скакать можно вечно. Однако, в этот момент явится тень немецкого ученого и скажет: "Для этого надо, что бы координаты $X$ и $Y$ в горизонтальной плоскости были бы нулями, и импульсы $P_x=P_y=0$. А я показал, что это невозможно. В лучшем случае $\Delta X\Delta P_x=\Delta Y\Delta P_y=\frac{\hbar}{2}$!"

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение18.03.2016, 23:19 


11/12/14
148
В общем, да, вторую я понял. В числителе не просто должно быть $m$, так как плотности частиц и среды разные. Согласно закону Архимеда там разность получается. А оттуда как раз и вылезет дополнительное слагаемое. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение18.03.2016, 23:50 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TripleLucker в сообщении #1107744 писал(а):
Мне кажется, что в числителе степени экспоненты должна стоять разность плотностей среды и частиц, поэтому при совпадении получится 0, а из этого следует, что от высоты концентрация не зависит.
Ответ-то правильный, только обосновали Вы его не так, как хотелось бы: подумайте, как сделать этот вывод без подстановки чего-то там в формулу, а из физических соображений. Тогда, думаю, поймете, что именно Вы не учли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение19.03.2016, 00:29 


11/12/14
148
Pphantom в сообщении #1107758 писал(а):
TripleLucker в сообщении #1107744 писал(а):
Мне кажется, что в числителе степени экспоненты должна стоять разность плотностей среды и частиц, поэтому при совпадении получится 0, а из этого следует, что от высоты концентрация не зависит.
Ответ-то правильный, только обосновали Вы его не так, как хотелось бы: подумайте, как сделать этот вывод без подстановки чего-то там в формулу, а из физических соображений. Тогда, думаю, поймете, что именно Вы не учли.



Я понимаю, почему так, а как именно физически сказать не понимаю. Но просто в распределении Больцмана устанавливается связь между концентрацией частиц с потенциальной энергией на высоте $h$ и с нулевой потенциальной энергией. Раз плотности совпадают, то у нас сила архимеда и сила тяжести совпадают, поэтому общая сила равна нулю. Умножив ее на высоту, получаем потенциальную энергию. Т.е. энергия всегда нулевая, значит, концентрация не меняется.

-- 19.03.2016, 03:51 --

amon в сообщении #1107749 писал(а):
TripleLucker в сообщении #1107744 писал(а):
я не особо понимаю, как высчитать эти вещи.
Если Вы каждый раз точно попадаете в центр закрепленного шара, то скакать можно вечно. Однако, в этот момент явится тень немецкого ученого и скажет: "Для этого надо, что бы координаты $X$ и $Y$ в горизонтальной плоскости были бы нулями, и импульсы $P_x=P_y=0$. А я показал, что это невозможно. В лучшем случае $\Delta X\Delta P_x=\Delta Y\Delta P_y=\frac{\hbar}{2}$!"


Я подозреваю, что тут кроется какая-то еще одна подсказка, но мне стыдно, что я не понимаю. Тот же вопрос остается: как считать среднеквадратические отклонения в данном случае :(.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение19.03.2016, 01:18 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TripleLucker в сообщении #1107765 писал(а):
сила архимеда
Вот, уже совсем тепло. :-) Осталось сделать последний шаг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение19.03.2016, 09:33 


11/12/14
148
Pphantom в сообщении #1107768 писал(а):
TripleLucker в сообщении #1107765 писал(а):
сила архимеда
Вот, уже совсем тепло. :-) Осталось сделать последний шаг.


Сила Архимеда равняется силе тяжести, поэтому частицы покоятся в газе, следовательно, концентрация не меняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение19.03.2016, 10:22 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TripleLucker в сообщении #1107786 писал(а):
Сила Архимеда равняется силе тяжести, поэтому частицы покоятся в газе, следовательно, концентрация не меняется?
Не покоятся (тепловые движения никто не отменял), но да, их концентрация с высотой меняться не будет. Ну а теперь совсем уж простой вопрос: как выглядит выражение для силы Архимеда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение19.03.2016, 11:24 


11/12/14
148
Pphantom в сообщении #1107794 писал(а):
TripleLucker в сообщении #1107786 писал(а):
Сила Архимеда равняется силе тяжести, поэтому частицы покоятся в газе, следовательно, концентрация не меняется?
Не покоятся (тепловые движения никто не отменял), но да, их концентрация с высотой меняться не будет. Ну а теперь совсем уж простой вопрос: как выглядит выражение для силы Архимеда?


$F_A=\rho gV$, где $\rho$ - плотность газа, а $V$ - в данном случае объем частицы, так как она полностью находится в газе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая Механика
Сообщение19.03.2016, 11:30 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TripleLucker в сообщении #1107814 писал(а):
$F_A=\rho gV$, где $\rho$ - плотность газа, а $V$ - в данном случае объем частицы, так как она полностью находится в газе.
А теперь сравните это со вторым членом в выражении для массы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group