Квантовая Механика

[TripleLucker]

Здрваствуйте, у меня вопросы по двум задачам:

1) Идеальный упругий мяч радиусом $R$ падает в вакууме на закрепленный идеально упругий шар того же радиуса с высоты $H = 10R$. Пренебрегая движением Земли, вычислить наибольшее число отскоков мяча от неподвижного шара при наиболее благоприятных условиях.

Меня испугал ответ, который в задачнике вот такой: $N\approx1+ln(\frac{mg^\frac{1}{2}R^\frac{3}{2}}{\hbar\sqrt{5}})/ln\frac{4H}{R}$

Сразу видно, что из обычных школьных формул его не выудишь, да и к тому же тема "квантовая механика". Я попробовал поискать все, что связано с этим, но непонятно, что здесь применять вообще. Видимо, раз такое неточное число, то есть вероятность, что мяч отскочит в сторону (или нет, раз наиболее благоприятные условия?). Я знаю, что нужно предлагать решение какое-то, но тут просто ничего не получается придумать. Поэтому прошу помочь, пожалуйста.

2)В газе, имеющем температуру $T$ и плотность $\rho$, взвешены шарообразные частицы радиусом $r$. Концентрация частиц на высоте $h$ вдвое меньше, чем при $h=0$. Найти массу взвешенных частиц.

В общем я решил применить распределение Больцмана, которое записано в виде $n = n_0e^\frac{-mgh}{kT}$, где $n$ - концентрация частиц на высоте $h$, $n_0$ - начальная концентрация ($h=0$). В моей задаче $n = 0.5n_0$. Поэтому подставляем и выражаем $m=\frac{kTln2}{gh}$.

Но вот в чем вопрос. В ответе написано $m = \frac{kTln2}{gh}+\frac{4\pi}{3}r^3\rho$. Второе слагаемое, как я понимаю, вес одной частицы. Но каким образом так получается? Ведь в распределении Больцмана уже посчитан вес якобы всех частиц, или все-таки я не так формулу применяю? (что наиболее вероятно). Просто добавление веса одной частицы выглядит странно. (если это он вообще). Прошу помочь тоже, собственно.

Заранее спасибо.

[Pphantom]

TripleLucker в сообщении #1107726 писал(а):

Второе слагаемое, как я понимаю, вес одной частицы.

Ну, положим, не вес, а масса. Посмотрите внимательнее: это объем частицы, умноженный на плотность газа. Ни на какие мысли такое сочетание не наводит?

[TripleLucker]

Да, это глупо было написать "вес" с моей стороны, прошу прощения.
Я как раз думал об этом, что именно плотность газа. Это получается, масса газа, который в форме одной из взвешенных частиц. Но я все равно не понимаю, откуда такое возникнуть может. Это, будто бы, частица "заполнилась" газом, который был вокруг нее. :/

[amon]

TripleLucker в сообщении #1107726 писал(а):

Я попробовал поискать все, что связано с этим, но непонятно, что здесь применять вообще.

Попробуйте применить соотношение неопределенности, если знаете, что это за зверь.

[Pphantom]

TripleLucker в сообщении #1107739 писал(а):

Но я все равно не понимаю, откуда такое возникнуть может.

Ох... ну ладно, совсем уж прозрачная подсказка: пусть плотность частиц совпадает с плотностью газа. Будет ли концентрация частиц на разных высотах отличаться? Почему?

[TripleLucker]

amon в сообщении #1107740 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1107726 писал(а):

Я попробовал поискать все, что связано с этим, но непонятно, что здесь применять вообще.

Попробуйте применить соотношение неопределенности, если знаете, что это за зверь.

Если имеется в виду $\Delta x\Delta p\geqslant\frac{\hbar}{2}$, то знаю. Но я уже смотрел на него и оно, конечно, сюда хорошо подходит, импульс и отклонение есть. Но мы среднеквадратические отклонения искали только через волновые функции, а тут такой нет. А по таким начальным данным я не особо понимаю, как высчитать эти вещи. :/

-- 19.03.2016, 02:11 --

Pphantom в сообщении #1107743 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1107739 писал(а):

Но я все равно не понимаю, откуда такое возникнуть может.

Ох... ну ладно, совсем уж прозрачная подсказка: пусть плотность частиц совпадает с плотностью газа. Будет ли концентрация частиц на разных высотах отличаться? Почему?

Мне кажется, что в числителе степени экспоненты должна стоять разность плотностей среды и частиц, поэтому при совпадении получится 0, а из этого следует, что от высоты концентрация не зависит.

[amon]

TripleLucker в сообщении #1107744 писал(а):

я не особо понимаю, как высчитать эти вещи.

Если Вы каждый раз точно попадаете в центр закрепленного шара, то скакать можно вечно. Однако, в этот момент явится тень немецкого ученого и скажет: "Для этого надо, что бы координаты $X$ и $Y$ в горизонтальной плоскости были бы нулями, и импульсы $P_x=P_y=0$. А я показал, что это невозможно. В лучшем случае $\Delta X\Delta P_x=\Delta Y\Delta P_y=\frac{\hbar}{2}$!"

[TripleLucker]

В общем, да, вторую я понял. В числителе не просто должно быть $m$, так как плотности частиц и среды разные. Согласно закону Архимеда там разность получается. А оттуда как раз и вылезет дополнительное слагаемое. Спасибо.

[Pphantom]

TripleLucker в сообщении #1107744 писал(а):

Мне кажется, что в числителе степени экспоненты должна стоять разность плотностей среды и частиц, поэтому при совпадении получится 0, а из этого следует, что от высоты концентрация не зависит.

Ответ-то правильный, только обосновали Вы его не так, как хотелось бы: подумайте, как сделать этот вывод без подстановки чего-то там в формулу, а из физических соображений. Тогда, думаю, поймете, что именно Вы не учли.

[TripleLucker]

Pphantom в сообщении #1107758 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1107744 писал(а):

Мне кажется, что в числителе степени экспоненты должна стоять разность плотностей среды и частиц, поэтому при совпадении получится 0, а из этого следует, что от высоты концентрация не зависит.

Ответ-то правильный, только обосновали Вы его не так, как хотелось бы: подумайте, как сделать этот вывод без подстановки чего-то там в формулу, а из физических соображений. Тогда, думаю, поймете, что именно Вы не учли.

Я понимаю, почему так, а как именно физически сказать не понимаю. Но просто в распределении Больцмана устанавливается связь между концентрацией частиц с потенциальной энергией на высоте $h$ и с нулевой потенциальной энергией. Раз плотности совпадают, то у нас сила архимеда и сила тяжести совпадают, поэтому общая сила равна нулю. Умножив ее на высоту, получаем потенциальную энергию. Т.е. энергия всегда нулевая, значит, концентрация не меняется.

-- 19.03.2016, 03:51 --

amon в сообщении #1107749 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1107744 писал(а):

я не особо понимаю, как высчитать эти вещи.

Если Вы каждый раз точно попадаете в центр закрепленного шара, то скакать можно вечно. Однако, в этот момент явится тень немецкого ученого и скажет: "Для этого надо, что бы координаты $X$ и $Y$ в горизонтальной плоскости были бы нулями, и импульсы $P_x=P_y=0$. А я показал, что это невозможно. В лучшем случае $\Delta X\Delta P_x=\Delta Y\Delta P_y=\frac{\hbar}{2}$!"

Я подозреваю, что тут кроется какая-то еще одна подсказка, но мне стыдно, что я не понимаю. Тот же вопрос остается: как считать среднеквадратические отклонения в данном случае :(.

[Pphantom]

TripleLucker в сообщении #1107765 писал(а):

сила архимеда

Вот, уже совсем тепло. Осталось сделать последний шаг.

[TripleLucker]

Pphantom в сообщении #1107768 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1107765 писал(а):

сила архимеда

Вот, уже совсем тепло. Осталось сделать последний шаг.

Сила Архимеда равняется силе тяжести, поэтому частицы покоятся в газе, следовательно, концентрация не меняется?

[Pphantom]

TripleLucker в сообщении #1107786 писал(а):

Сила Архимеда равняется силе тяжести, поэтому частицы покоятся в газе, следовательно, концентрация не меняется?

Не покоятся (тепловые движения никто не отменял), но да, их концентрация с высотой меняться не будет. Ну а теперь совсем уж простой вопрос: как выглядит выражение для силы Архимеда?

[TripleLucker]

Pphantom в сообщении #1107794 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1107786 писал(а):

Сила Архимеда равняется силе тяжести, поэтому частицы покоятся в газе, следовательно, концентрация не меняется?

Не покоятся (тепловые движения никто не отменял), но да, их концентрация с высотой меняться не будет. Ну а теперь совсем уж простой вопрос: как выглядит выражение для силы Архимеда?

$F_A=\rho gV$, где $\rho$ - плотность газа, а $V$ - в данном случае объем частицы, так как она полностью находится в газе.

[Pphantom]

TripleLucker в сообщении #1107814 писал(а):

$F_A=\rho gV$, где $\rho$ - плотность газа, а $V$ - в данном случае объем частицы, так как она полностью находится в газе.

А теперь сравните это со вторым членом в выражении для массы.