Зорич Мат. анализ 1 том доказательство

[anderlo]

Ellan Vannin в сообщении #1107206 писал(а):

Какая одинаковость? Это неверно. Кроме функциональности требуется полнота слева.

Имеется в виду, что они синонимы. А что такое полнота слева?

[tolstopuz]

anderlo в сообщении #1107210 писал(а):

Имеется в виду, что они синонимы.

"Функция из $X$ в $Y$" и "отображение из $X$ в $Y$" - синонимы. А "функция из $X$ в $Y$" и "функциональное отношение $\mathcal{R}\subset X\times Y$" - не синонимы, не каждое такое отношение является функцией из $X$ в $Y$. Прочитайте еще раз внимательно раздел (b) на стр. $21$.

anderlo в сообщении #1107210 писал(а):

А что такое полнота слева?

Вот это самое недостающее "в $X$". Первый и второй пункты приведенного мной выше плана доказательства.

[anderlo]

Запутали вы меня). Буду читать книжки.
Спасибо за план!

[tolstopuz]

Я там дописал в пункты $3$ и $4$ выводы про отображения.

[Ellan Vannin]

К примеру бинарное отношение $\langle \{\langle 2,0 \rangle\}, \{ 1,2 \}, \{0\} \rangle$ функционально, но не является функцией.

tolstopuz в сообщении #1107207 писал(а):

Мы разбираем задачу из Зорича, поэтому надо пользоваться определениями из Зорича. У него инъективность и сюръективность определяется только для отображений.

Это несерьезно. Функции есть частные примеры отношений. Приведите цитату, прямо запрещающую рассматривать инъективные и сюръективные отношения.

Почему-то вы посчитали ошибкой абсолютно разумный порядок действий. И запретили пользоваться абсолютно правильными терминами. Хотя на самом деле всё нормально. Учебник Зорича по "анализу", не по теории множеств, в него вполне могли не войти какие-то общие понятия.

tolstopuz в сообщении #1107207 писал(а):

У Зорича вскользь говорится "определенное на $X$", легко пропустить.

Представления не имею, что говорится. Я эту книгу особенно не читал.

anderlo в сообщении #1107213 писал(а):

Запутали вы меня).

Я вас не запутывал. Скорее наоборот

[anderlo]

Досадно, когда распутывальщики не сойдутся во мнениях))). Но, все равно спасибо за то, что обратили мое внимание на детали определений... я в универах не учился поэтому не знаю как правильно приступать к доказательствам. Пытаюсь учиться в домашних условиях. А книга Зорича - это взрыв моего мозга))

[tolstopuz]

Ellan Vannin в сообщении #1107217 писал(а):

Функции есть частные примеры отношений. Приведите цитату, прямо запрещающую рассматривать инъективные и сюръективные отношения.

У вас ошибка в логике. Определения, введенные для более общего объекта (отношение), действуют и для частного (функция), но не наоборот. Этак мы дойдем до дифференцируемых отношений - а что, кто-то прямо запрещал их рассматривать?

Кроме того, в задаче четко и недвусмысленно просят доказать функциональность, определение функционального отношения написано на предыдущей странице. Ни инъективности, ни сюръективности в этом определении не участвует. Если студент путается в терминах до такой степени, что пишет "докажем сюръективность отображений $X$ и $Y$", то вольностей типа "инъективных отношений" ему позволять нельзя, и нужна строгость. Посмотрите на его последнее доказательство - там ошибка на ошибке.

[Ellan Vannin]

tolstopuz, а если такого утверждения в математической литературе нет (зато есть обратное), то на каком основании вы пишете:

tolstopuz в сообщении #1107194 писал(а):

инъективность определена только для отображений, т. е. функций, а не для произвольных отношений.

tolstopuz в сообщении #1107194 писал(а):

не для произвольных отношений

tolstopuz в сообщении #1107194 писал(а):

прежде чем вы в первый раз произнесете применительно к $\mathcal{R}_1$ или $\mathcal{R}_2$ слово "инъективность" или "сюръективность", функциональность должна быть уже доказана.

Это неверно.

[tolstopuz]

anderlo в сообщении #1107218 писал(а):

я в универах не учился поэтому не знаю как правильно приступать к доказательствам.

На этом этапе нужно больше буквальности, чтобы привыкнуть к формализации.

Допустим, в задаче написано "оба они функциональны". Интуиция может обмануть по поводу смысла слова "функциональны", поэтому листаем назад к определению. Ага, "отношение $\mathcal{R}$ называется функциональным, если ...". Отлично, добавляем текст после "если" в список того, что нам требуется доказать. Два раза, так как "оба".

Дальше написано "и задают ... отображения". Тут и правда взрыв мозга. Опять листаем назад и видим "такое функциональное отношение ... и есть отображение". Какое "такое"? Читаем чуть выше: "определенное на $X$". Пытаемся догадаться, что значит "определенное на", возвращаемся на стр. $19$ и видим: "Множество $X$ первых элементов упорядоченных пар, составляющих $\mathcal{R}$, называют областью определения отношения $\mathcal{R}$". Похоже? На мой взгляд, не очень. Тем не менее это оно, и можно записать второй пункт в список: доказать, что множество первых элементов пар из $\mathcal{R}_1$ совпадает с $X$, а первых элементов пар из $\mathcal{R}_2$ - с $Y$.

И последний пункт: "задают взаимно обратные отображения". После предыдущих четырех пунктов мы уже имеем право говорить о наших отношениях как об отображениях. Смотрим определение обратного отображения на странице $16$ и добавляем в список. Или (что не так полезно) ссылаемся на утверждение на странице $18$, которое фактически повторяет условие нашей задачи, только для отображений.

-- Ср мар 16, 2016 20:30:48 --

Ellan Vannin в сообщении #1107222 писал(а):

а если такого утверждения в математической литературе нет (зато есть обратное)

При чем здесь математическая литература? Мы рассматриваем задачу из учебника Зорича, для понимания и решения которой в этом учебнике есть все необходимые определения. В задаче просят установить функциональность отношений, определение функциональности приведено на предыдущей странице. Студент путается и использует в доказательстве свои смутные интуитивные представления вместо определений. Вместо того чтобы показать ему строгое доказательство, вы потакаете его неаккуратности, да еще используете при этом аргументы низкого пошиба типа "а если найду".

-- Ср мар 16, 2016 20:45:53 --

Кстати, отношение у Зорича определяется так: "Отношением $\mathcal{R}$ называют любое множество упорядоченных пар $(x,y)$".

Ellan Vannin, дайте, пожалуйста, определение сюръективного отношения.

[Ellan Vannin]

(Оффтоп)

Ладно, все эти разговоры не на пользу, я лучше пойду. Даже если запретить общее определение инъективности (оставить только инъективность функций), то задача по-прежнему решаема. Поскольку с вашей помощью мне удалось решить задачку, то при определенных усилиях может удастся и Тсу. А всё остальное правда неважно.

tolstopuz в сообщении #1107219 писал(а):

Посмотрите на его последнее доказательство - там ошибка на ошибке.

Да.

[tolstopuz]

Суть в том, что наивную теорию множеств, включая отношения и функции, каждый автор объясняет по-своему, причем эти объяснения часто противоречат друг другу. Для кого-то отношение - множество пар, для кого-то - упорядоченная тройка. У Кона в "Универсальной алгебре" вообще функция - множество пар, а отображение - упорядоченная тройка, поэтому у него не бывает сюръективных функций, только сюръективные отображения. У Зорича по похожей причине невозможно говорить о сюръективных отношениях. При первом знакомстве с предметом надо брать все определения из одного учебника, во избежание путаницы и противоречий.

[Ellan Vannin]

(Оффтоп)

Все-таки пришлось слегка почитать этот учебник.

tolstopuz в сообщении #1107231 писал(а):

У Зорича по похожей причине невозможно говорить о сюръективных отношениях.

У него и о сюръективных функциях (как отношениях) говорить нельзя. Поэтому несколько страниц тому назад, до отношений, ему пришлось вводить тройку $\langle X, f, Y \rangle$ и по сути отождествлять ее с функцией.

tolstopuz в сообщении #1107231 писал(а):

причем эти объяснения часто противоречат друг другу. Для кого-то отношение - множество пар, для кого-то - упорядоченная тройка.

А бывает как тут: в одной книге несколько неэквивалентных определений.

tolstopuz в сообщении #1107231 писал(а):

При первом знакомстве с предметом надо брать все определения из одного учебника, во избежание путаницы и противоречий.

Нет, я считаю, при первом знакомстве с предметом нужно брать учебник именно по этому предмету. Теорию множеств лучше изучать по "Теории множеств", алгебру по "Алгебре" и т.д.

[tolstopuz]

(Оффтоп)

Ellan Vannin в сообщении #1107238 писал(а):

Поэтому несколько страниц тому назад, до отношений, ему пришлось вводить тройку $\langle X, f, Y \rangle$ и по сути отождествлять ее с функцией.

У Куратовского-Мостовского, например, функцией называется функциональное отношение, а функцией (отображением) из $X$ в $Y$ - отношение с полнотой слева на $X$. Поэтому у них "сюръективной функции" не бывает, а "сюръективная функция из $X$ в $Y$" бывает.

Ellan Vannin в сообщении #1107238 писал(а):

А бывает как тут: в одной книге несколько неэквивалентных определений.

Тут как в Ветхом Завете - сначала функция определяется наивно, как соответствие "в силу некоторого закона", а потом заново определяется как отношение со специальными свойствами. Это, конечно, грязновато, но учебник предназначен для способных первокурсников, и Зорич, видимо, решил, что педагогически это будет эффективнее. На самом деле можно было бы спокойно поставить этому параграфу звездочку, потому что второе определение функции дается "для сведения читателя" и, насколько я понимаю, в дальнейшем курсе не используется.

Для сравнения, Кудрявцев и прочие классические учебники вообще функцию если определяют, то только наивно.

Ellan Vannin в сообщении #1107238 писал(а):

Нет, я считаю, при первом знакомстве с предметом нужно брать учебник именно по этому предмету. Теорию множеств лучше изучать по "Теории множеств", алгебру по "Алгебре" и т.д.

Я не знаю учебника по теории множеств, подходящего для первокурсника. Даже "Naïve set theory" Халмоша будет сложноват. В западном образовании, например, вообще не принято учить такому материалу на первых двух курсах. Там вначале калькьюлус, потом уже основы теории множеств, а потом нормальное изложение матана по Рудину. А чтобы изложить матан перво-второкурсникам на уровне, на котором хотел сделать это Зорич, пришлось пойти на компромиссы и придумать очередное изложение основ наивной теории множеств.

Вы дальше почитайте - там действительные числа определяются аксиоматически, а натуральные - как их подмножество :)

[anderlo]

tolstopuz в сообщении #1107224 писал(а):

Вместо того чтобы показать ему строгое доказательство, вы потакаете его неаккуратности, да еще используете при этом аргументы низкого пошиба типа "а если найду".

Как все-таки было-бы хорошо увидеть стройное, согласованное с книгой, доказательство этой задачи, чтобы иметь под рукой какой-то эталон. Очень хочется... я пытался, правда пытался . Я не студент и не жду пятерок или халявы. Но в этой книге еще много утверждений, которые надо доказать. План доказательства, который был изложен выше, действительно напоминает нечто гармоничное и хочется чтобы было завершение! Хотя бы на клочке бумаги, сфотканного на телефон(понимаю что задолбаться можно набирать все эти символы)!!!

[Lia]

anderlo в сообщении #1107307 писал(а):

Как все-таки было-бы хорошо увидеть стройное, согласованное с книгой, доказательство этой задачи, чтобы иметь под рукой какой-то эталон.[...]План доказательства, который был изложен выше, действительно напоминает нечто гармоничное и хочется чтобы было завершение!

Напишите. План был для Вас.