2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 19:30 
Аватара пользователя


14/03/16
69
Ellan Vannin в сообщении #1107206 писал(а):
Какая одинаковость? Это неверно. Кроме функциональности требуется полнота слева.

Изображение
Имеется в виду, что они синонимы. А что такое полнота слева?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 19:32 
Заслуженный участник


31/12/05
1517
anderlo в сообщении #1107210 писал(а):
Имеется в виду, что они синонимы.
"Функция из $X$ в $Y$" и "отображение из $X$ в $Y$" - синонимы. А "функция из $X$ в $Y$" и "функциональное отношение $\mathcal{R}\subset X\times Y$" - не синонимы, не каждое такое отношение является функцией из $X$ в $Y$. Прочитайте еще раз внимательно раздел (b) на стр. $21$.
anderlo в сообщении #1107210 писал(а):
А что такое полнота слева?
Вот это самое недостающее "в $X$". Первый и второй пункты приведенного мной выше плана доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 19:34 
Аватара пользователя


14/03/16
69
Запутали вы меня). Буду читать книжки.
Спасибо за план!

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 19:42 
Заслуженный участник


31/12/05
1517
Я там дописал в пункты $3$ и $4$ выводы про отображения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 19:43 
Аватара пользователя


26/02/16

85
От верблюда
К примеру бинарное отношение $\langle \{\langle 2,0 \rangle\}, \{ 1,2 \}, \{0\} \rangle$ функционально, но не является функцией.
tolstopuz в сообщении #1107207 писал(а):
Мы разбираем задачу из Зорича, поэтому надо пользоваться определениями из Зорича. У него инъективность и сюръективность определяется только для отображений.
Это несерьезно. Функции есть частные примеры отношений. Приведите цитату, прямо запрещающую рассматривать инъективные и сюръективные отношения.

Почему-то вы посчитали ошибкой абсолютно разумный порядок действий. И запретили пользоваться абсолютно правильными терминами. Хотя на самом деле всё нормально. Учебник Зорича по "анализу", не по теории множеств, в него вполне могли не войти какие-то общие понятия.
tolstopuz в сообщении #1107207 писал(а):
У Зорича вскользь говорится "определенное на $X$", легко пропустить.
Представления не имею, что говорится. Я эту книгу особенно не читал.
anderlo в сообщении #1107213 писал(а):
Запутали вы меня).
Я вас не запутывал. Скорее наоборот :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 19:59 
Аватара пользователя


14/03/16
69
Досадно, когда распутывальщики не сойдутся во мнениях))). :shock: Но, все равно спасибо за то, что обратили мое внимание на детали определений... я в универах не учился поэтому не знаю как правильно приступать к доказательствам. Пытаюсь учиться в домашних условиях. А книга Зорича - это взрыв моего мозга))

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 20:01 
Заслуженный участник


31/12/05
1517
Ellan Vannin в сообщении #1107217 писал(а):
Функции есть частные примеры отношений. Приведите цитату, прямо запрещающую рассматривать инъективные и сюръективные отношения.
У вас ошибка в логике. Определения, введенные для более общего объекта (отношение), действуют и для частного (функция), но не наоборот. Этак мы дойдем до дифференцируемых отношений - а что, кто-то прямо запрещал их рассматривать?

Кроме того, в задаче четко и недвусмысленно просят доказать функциональность, определение функционального отношения написано на предыдущей странице. Ни инъективности, ни сюръективности в этом определении не участвует. Если студент путается в терминах до такой степени, что пишет "докажем сюръективность отображений $X$ и $Y$", то вольностей типа "инъективных отношений" ему позволять нельзя, и нужна строгость. Посмотрите на его последнее доказательство - там ошибка на ошибке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 20:20 
Аватара пользователя


26/02/16

85
От верблюда
tolstopuz, а если такого утверждения в математической литературе нет (зато есть обратное), то на каком основании вы пишете:
tolstopuz в сообщении #1107194 писал(а):
инъективность определена только для отображений, т. е. функций, а не для произвольных отношений.
tolstopuz в сообщении #1107194 писал(а):
не для произвольных отношений
tolstopuz в сообщении #1107194 писал(а):
прежде чем вы в первый раз произнесете применительно к $\mathcal{R}_1$ или $\mathcal{R}_2$ слово "инъективность" или "сюръективность", функциональность должна быть уже доказана.
Это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 20:22 
Заслуженный участник


31/12/05
1517
anderlo в сообщении #1107218 писал(а):
я в универах не учился поэтому не знаю как правильно приступать к доказательствам.

На этом этапе нужно больше буквальности, чтобы привыкнуть к формализации.

Допустим, в задаче написано "оба они функциональны". Интуиция может обмануть по поводу смысла слова "функциональны", поэтому листаем назад к определению. Ага, "отношение $\mathcal{R}$ называется функциональным, если ...". Отлично, добавляем текст после "если" в список того, что нам требуется доказать. Два раза, так как "оба".

Дальше написано "и задают ... отображения". Тут и правда взрыв мозга. Опять листаем назад и видим "такое функциональное отношение ... и есть отображение". Какое "такое"? Читаем чуть выше: "определенное на $X$". Пытаемся догадаться, что значит "определенное на", возвращаемся на стр. $19$ и видим: "Множество $X$ первых элементов упорядоченных пар, составляющих $\mathcal{R}$, называют областью определения отношения $\mathcal{R}$". Похоже? На мой взгляд, не очень. Тем не менее это оно, и можно записать второй пункт в список: доказать, что множество первых элементов пар из $\mathcal{R}_1$ совпадает с $X$, а первых элементов пар из $\mathcal{R}_2$ - с $Y$.

И последний пункт: "задают взаимно обратные отображения". После предыдущих четырех пунктов мы уже имеем право говорить о наших отношениях как об отображениях. Смотрим определение обратного отображения на странице $16$ и добавляем в список. Или (что не так полезно) ссылаемся на утверждение на странице $18$, которое фактически повторяет условие нашей задачи, только для отображений.

-- Ср мар 16, 2016 20:30:48 --

Ellan Vannin в сообщении #1107222 писал(а):
а если такого утверждения в математической литературе нет (зато есть обратное)
При чем здесь математическая литература? Мы рассматриваем задачу из учебника Зорича, для понимания и решения которой в этом учебнике есть все необходимые определения. В задаче просят установить функциональность отношений, определение функциональности приведено на предыдущей странице. Студент путается и использует в доказательстве свои смутные интуитивные представления вместо определений. Вместо того чтобы показать ему строгое доказательство, вы потакаете его неаккуратности, да еще используете при этом аргументы низкого пошиба типа "а если найду".

-- Ср мар 16, 2016 20:45:53 --

Кстати, отношение у Зорича определяется так: "Отношением $\mathcal{R}$ называют любое множество упорядоченных пар $(x,y)$".

Ellan Vannin, дайте, пожалуйста, определение сюръективного отношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 20:58 
Аватара пользователя


26/02/16

85
От верблюда

(Оффтоп)

Ладно, все эти разговоры не на пользу, я лучше пойду. Даже если запретить общее определение инъективности (оставить только инъективность функций), то задача по-прежнему решаема. Поскольку с вашей помощью мне удалось решить задачку, то при определенных усилиях может удастся и Тсу. А всё остальное правда неважно.
tolstopuz в сообщении #1107219 писал(а):
Посмотрите на его последнее доказательство - там ошибка на ошибке.
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 21:07 
Заслуженный участник


31/12/05
1517
Суть в том, что наивную теорию множеств, включая отношения и функции, каждый автор объясняет по-своему, причем эти объяснения часто противоречат друг другу. Для кого-то отношение - множество пар, для кого-то - упорядоченная тройка. У Кона в "Универсальной алгебре" вообще функция - множество пар, а отображение - упорядоченная тройка, поэтому у него не бывает сюръективных функций, только сюръективные отображения. У Зорича по похожей причине невозможно говорить о сюръективных отношениях. При первом знакомстве с предметом надо брать все определения из одного учебника, во избежание путаницы и противоречий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 21:48 
Аватара пользователя


26/02/16

85
От верблюда

(Оффтоп)

Все-таки пришлось слегка почитать этот учебник.
tolstopuz в сообщении #1107231 писал(а):
У Зорича по похожей причине невозможно говорить о сюръективных отношениях.
У него и о сюръективных функциях (как отношениях) говорить нельзя. Поэтому несколько страниц тому назад, до отношений, ему пришлось вводить тройку $\langle X, f, Y \rangle$ и по сути отождествлять ее с функцией.
tolstopuz в сообщении #1107231 писал(а):
причем эти объяснения часто противоречат друг другу. Для кого-то отношение - множество пар, для кого-то - упорядоченная тройка.
А бывает как тут: в одной книге несколько неэквивалентных определений.
tolstopuz в сообщении #1107231 писал(а):
При первом знакомстве с предметом надо брать все определения из одного учебника, во избежание путаницы и противоречий.
Нет, я считаю, при первом знакомстве с предметом нужно брать учебник именно по этому предмету. Теорию множеств лучше изучать по "Теории множеств", алгебру по "Алгебре" и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение16.03.2016, 22:28 
Заслуженный участник


31/12/05
1517

(Оффтоп)

Ellan Vannin в сообщении #1107238 писал(а):
Поэтому несколько страниц тому назад, до отношений, ему пришлось вводить тройку $\langle X, f, Y \rangle$ и по сути отождествлять ее с функцией.
У Куратовского-Мостовского, например, функцией называется функциональное отношение, а функцией (отображением) из $X$ в $Y$ - отношение с полнотой слева на $X$. Поэтому у них "сюръективной функции" не бывает, а "сюръективная функция из $X$ в $Y$" бывает.
Ellan Vannin в сообщении #1107238 писал(а):
А бывает как тут: в одной книге несколько неэквивалентных определений.
Тут как в Ветхом Завете - сначала функция определяется наивно, как соответствие "в силу некоторого закона", а потом заново определяется как отношение со специальными свойствами. Это, конечно, грязновато, но учебник предназначен для способных первокурсников, и Зорич, видимо, решил, что педагогически это будет эффективнее. На самом деле можно было бы спокойно поставить этому параграфу звездочку, потому что второе определение функции дается "для сведения читателя" и, насколько я понимаю, в дальнейшем курсе не используется.

Для сравнения, Кудрявцев и прочие классические учебники вообще функцию если определяют, то только наивно.
Ellan Vannin в сообщении #1107238 писал(а):
Нет, я считаю, при первом знакомстве с предметом нужно брать учебник именно по этому предмету. Теорию множеств лучше изучать по "Теории множеств", алгебру по "Алгебре" и т.д.
Я не знаю учебника по теории множеств, подходящего для первокурсника. Даже "Naïve set theory" Халмоша будет сложноват. В западном образовании, например, вообще не принято учить такому материалу на первых двух курсах. Там вначале калькьюлус, потом уже основы теории множеств, а потом нормальное изложение матана по Рудину. А чтобы изложить матан перво-второкурсникам на уровне, на котором хотел сделать это Зорич, пришлось пойти на компромиссы и придумать очередное изложение основ наивной теории множеств.

Вы дальше почитайте - там действительные числа определяются аксиоматически, а натуральные - как их подмножество :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение17.03.2016, 09:21 
Аватара пользователя


14/03/16
69
tolstopuz в сообщении #1107224 писал(а):
Вместо того чтобы показать ему строгое доказательство, вы потакаете его неаккуратности, да еще используете при этом аргументы низкого пошиба типа "а если найду".

Как все-таки было-бы хорошо увидеть стройное, согласованное с книгой, доказательство этой задачи, чтобы иметь под рукой какой-то эталон. Очень хочется... я пытался, правда пытался . Я не студент и не жду пятерок или халявы. Но в этой книге еще много утверждений, которые надо доказать. План доказательства, который был изложен выше, действительно напоминает нечто гармоничное и хочется чтобы было завершение! Хотя бы на клочке бумаги, сфотканного на телефон(понимаю что задолбаться можно набирать все эти символы)!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич Мат. анализ 1 том доказательство
Сообщение17.03.2016, 10:05 


20/03/14
12041
anderlo в сообщении #1107307 писал(а):
Как все-таки было-бы хорошо увидеть стройное, согласованное с книгой, доказательство этой задачи, чтобы иметь под рукой какой-то эталон.[...]План доказательства, который был изложен выше, действительно напоминает нечто гармоничное и хочется чтобы было завершение!

Напишите. План был для Вас.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group