равномерная сходимость функциональной последовательности

[dikiy]

Дана последовательность непрерывных функций $g^i(x,y):K\to \mathbb R$ которая равномерно сходится для всех фиксированных $y.$ Причем областьи $X$ и $Y$ компактны.
Можно ли показать, что эта последовательность сходится равномерно на всей $K?$ Допускаем, что существует мажоранта для всех $g^i.$

Я пытаюсь применить теорему Арцела-Асколи, но пока что безуспешно. Вроде бы если $g^i$ будут все липшиц-непрерывны, то можно. Но как без этого дополнительного условия доказать?

[gris]

Боюсь, что с утра чего-то не понял, но контрпример достаточно очевиден. Пусть последовательность сходится к функции разрывной по $y$ при фиксированном $x$ и вообще постоянной по $x$ при фиксированном $y$.

[Dan B-Yallay]

$g^i(x,y) = y^i$?

-- Чт мар 03, 2016 23:22:30 --

Опоздал...

[dikiy]

Давайте усилим условия. Пусть предел $g^i$ будет непрерывная на К функция.

[gris]

Это уже похоже на Теорему Дини. Там несколько условий для равномерной сходимости, и невыполнение одного из них уже дозволяет контрпример. Компакт, непрерывность членов и непрерывность суммы Вы упомянули. Осталась некая монотонность То есть опять же контрпример будет и для одномерного случая. А Вы, как я понял, копаете поглубже

Но я уже боюсь ошибиться. Общая мажоранта может и сработать. Хотя если на тождественном нуле запустить этакий скользящий сужающийся зубец, то поточечная сходимость будет, а равномерная — нет.

[dikiy]

gris в сообщении #1104105 писал(а):

Это уже похоже на Теорему Дини. Там несколько условий для равномерной сходимости, и невыполнение одного из них уже дозволяет контрпример. Компакт, непрерывность членов и непрерывность суммы Вы упомянули. Осталась некая монотонность То есть опять же контрпример будет и для одномерного случая. А Вы, как я понял, копаете поглубже

Но я уже боюсь ошибиться. Общая мажоранта может и сработать. Хотя если на тождественном нуле запустить этакий скользящий сужающийся зубец, то поточечная сходимость будет, а равномерная — нет.

А может аргументировать так, что если на компакте сходится поточечно к непрерывной функции, то тогда сходится и равномерно, так как из любого открытого покрытия можно выбрать покрытие из конечного числа окресностей?

[loshka]

а чем Вам не нравится теорема Дини, вы пытаетесь найти эквивалентное условие или ослабить ее?

[Brukvalub]

dikiy в сообщении #1106914 писал(а):

А может аргументировать так, что если на компакте сходится поточечно к непрерывной функции, то тогда сходится и равномерно, так как из любого открытого покрытия можно выбрать покрытие из конечного числа окресностей?

Чтобы оставить этих глупостей, постройте пример последовательности непрерывных на компакте функций, поточечно, но не равномерно сходящейся к нулю (стандартный уголок с уменьшающимся основанием и постоянной высотой, "привязанный" одним концом к нулю ).

[dikiy]

Brukvalub в сообщении #1106936 писал(а):

dikiy в сообщении #1106914 писал(а):

А может аргументировать так, что если на компакте сходится поточечно к непрерывной функции, то тогда сходится и равномерно, так как из любого открытого покрытия можно выбрать покрытие из конечного числа окресностей?

Чтобы оставить этих глупостей, постройте пример последовательности непрерывных на компакте функций, поточечно, но не равномерно сходящейся к нулю (стандартный уголок с уменьшающимся основанием и постоянной высотой, "привязанный" одним концом к нулю ).

как? последовательность $f_i(t):=t^i$ сходится поточечно к разрывной функции.

-- 15.03.2016, 17:18 --

loshka в сообщении #1106924 писал(а):

а чем Вам не нравится теорема Дини, вы пытаетесь найти эквивалентное условие или ослабить ее?

мне надо это для доказательства одной теоремы.

[Brukvalub]

dikiy в сообщении #1106939 писал(а):

как? последовательность $f_i(t):=t^i$ сходится поточечно к разрывной функции.

А пингвины живут на южном полюсе.
Разве я предлагал взять кого попало и наказать как следует какую попало последовательность и запузырить ее на форум?

-- Вт мар 15, 2016 18:31:07 --

Почитал тему, оказывается этот пример вам уже предлагал gris

gris в сообщении #1104105 писал(а):

Но я уже боюсь ошибиться. Общая мажоранта может и сработать. Хотя если на тождественном нуле запустить этакий скользящий сужающийся зубец, то поточечная сходимость будет, а равномерная — нет.

[dikiy]

да. теперь я понял свою ошибку. Блин, что ж делать.... Значит без липшиц-непрерывности никак...