2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение04.03.2016, 02:23 


15/04/12
175
Дана последовательность непрерывных функций $g^i(x,y):K\to \mathbb R$ которая равномерно сходится для всех фиксированных $y.$ Причем областьи $X$ и $Y$ компактны.
Можно ли показать, что эта последовательность сходится равномерно на всей $K?$ Допускаем, что существует мажоранта для всех $g^i.$

Я пытаюсь применить теорему Арцела-Асколи, но пока что безуспешно. Вроде бы если $g^i$ будут все липшиц-непрерывны, то можно. Но как без этого дополнительного условия доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение04.03.2016, 08:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Боюсь, что с утра чего-то не понял, но контрпример достаточно очевиден. Пусть последовательность сходится к функции разрывной по $y$ при фиксированном $x$ и вообще постоянной по $x$ при фиксированном $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение04.03.2016, 08:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
$g^i(x,y) = y^i$?

-- Чт мар 03, 2016 23:22:30 --

Опоздал...

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение04.03.2016, 14:04 


15/04/12
175
Давайте усилим условия. Пусть предел $g^i$ будет непрерывная на К функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение04.03.2016, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Это уже похоже на Теорему Дини. Там несколько условий для равномерной сходимости, и невыполнение одного из них уже дозволяет контрпример. Компакт, непрерывность членов и непрерывность суммы Вы упомянули. Осталась некая монотонность То есть опять же контрпример будет и для одномерного случая. А Вы, как я понял, копаете поглубже :-)

Но я уже боюсь ошибиться. Общая мажоранта может и сработать. Хотя если на тождественном нуле запустить этакий скользящий сужающийся зубец, то поточечная сходимость будет, а равномерная — нет. :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение15.03.2016, 17:02 


15/04/12
175
gris в сообщении #1104105 писал(а):
Это уже похоже на Теорему Дини. Там несколько условий для равномерной сходимости, и невыполнение одного из них уже дозволяет контрпример. Компакт, непрерывность членов и непрерывность суммы Вы упомянули. Осталась некая монотонность То есть опять же контрпример будет и для одномерного случая. А Вы, как я понял, копаете поглубже :-)

Но я уже боюсь ошибиться. Общая мажоранта может и сработать. Хотя если на тождественном нуле запустить этакий скользящий сужающийся зубец, то поточечная сходимость будет, а равномерная — нет. :?:


А может аргументировать так, что если на компакте сходится поточечно к непрерывной функции, то тогда сходится и равномерно, так как из любого открытого покрытия можно выбрать покрытие из конечного числа окресностей?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение15.03.2016, 17:46 


26/12/13
228
а чем Вам не нравится теорема Дини, вы пытаетесь найти эквивалентное условие или ослабить ее?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение15.03.2016, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
dikiy в сообщении #1106914 писал(а):
А может аргументировать так, что если на компакте сходится поточечно к непрерывной функции, то тогда сходится и равномерно, так как из любого открытого покрытия можно выбрать покрытие из конечного числа окресностей?

Чтобы оставить этих глупостей, постройте пример последовательности непрерывных на компакте функций, поточечно, но не равномерно сходящейся к нулю (стандартный уголок с уменьшающимся основанием и постоянной высотой, "привязанный" одним концом к нулю ).

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение15.03.2016, 18:17 


15/04/12
175
Brukvalub в сообщении #1106936 писал(а):
dikiy в сообщении #1106914 писал(а):
А может аргументировать так, что если на компакте сходится поточечно к непрерывной функции, то тогда сходится и равномерно, так как из любого открытого покрытия можно выбрать покрытие из конечного числа окресностей?

Чтобы оставить этих глупостей, постройте пример последовательности непрерывных на компакте функций, поточечно, но не равномерно сходящейся к нулю (стандартный уголок с уменьшающимся основанием и постоянной высотой, "привязанный" одним концом к нулю ).


как? последовательность $f_i(t):=t^i$ сходится поточечно к разрывной функции.

-- 15.03.2016, 17:18 --

loshka в сообщении #1106924 писал(а):
а чем Вам не нравится теорема Дини, вы пытаетесь найти эквивалентное условие или ослабить ее?


мне надо это для доказательства одной теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение15.03.2016, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
dikiy в сообщении #1106939 писал(а):
как? последовательность $f_i(t):=t^i$ сходится поточечно к разрывной функции.

А пингвины живут на южном полюсе.
Разве я предлагал взять кого попало и наказать как следует какую попало последовательность и запузырить ее на форум? :shock:

-- Вт мар 15, 2016 18:31:07 --

Почитал тему, оказывается этот пример вам уже предлагал gris
gris в сообщении #1104105 писал(а):
Но я уже боюсь ошибиться. Общая мажоранта может и сработать. Хотя если на тождественном нуле запустить этакий скользящий сужающийся зубец, то поточечная сходимость будет, а равномерная — нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная сходимость функциональной последовательности
Сообщение15.03.2016, 18:36 


15/04/12
175
да. теперь я понял свою ошибку. Блин, что ж делать.... Значит без липшиц-непрерывности никак...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group