2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
specialist в сообщении #1106335 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1106326

писал(а):
specialist, чтобы разговор приобрел смысл, дайте определения понятиям "ковектор", "дифференциал", "градиент".
Не вижу смысла их давать, так как они уже даны

Определения-то даны, только вы в них путаетесь. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 20:35 


16/07/14
201
Brukvalub в сообщении #1106365 писал(а):
specialist в сообщении #1106335 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1106326

писал(а):
specialist, чтобы разговор приобрел смысл, дайте определения понятиям "ковектор", "дифференциал", "градиент".
Не вижу смысла их давать, так как они уже даны

Определения-то даны, только вы в них путаетесь. :D


спасибо, кэп

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Для начала, предлагается все определения взять из какого-то одного учебника. И ясно понимать из какого: или для 8 класса по мат. анализу, или для 2 курса по диф. формам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 21:02 


16/07/14
201
то есть это выражение верное:
$df(x, y) =\Sigma ((\partial_i {f}) dx_i)$ (1)
то есть я могу сделать замену
$A_i=\partial_i {f}$ - один раз ковариантный тензор
$B_i=dx_i$ - тоже один раз ковариантный тензор
значит можно записать выражение (1) как :
$df(x, y) =\Sigma (A_i  B_i)$ (2)
и это более "гибкий" взгляд на дифференциал, получается каждый член суммы (2) является компонентой ковектора?
а запись
$df(x, y) =\Sigma (A_i  D^i)$
а это старая запись, менее функциональная
где за $D^i=dx^i$ - взят вектор
напишите где прав, где нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
specialist в сообщении #1106378 писал(а):
напишите где прав, где нет.

Какой смысл пояснять что-то тому, кто путается в определениях и настаивает на принципе " я и без вас все знаю". :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 22:22 


16/07/14
201
Brukvalub в сообщении #1106387 писал(а):
Какой смысл пояснять что-то тому, кто путается в определениях и настаивает на принципе " я и без вас все знаю". :D

скорее так: "я и без вас все узнаю, но от гуманной помощи не откажусь, и сам её в случае предоставлю безвозмездно" если вы не хотите помогать безвозмездно, ну и удачи вам. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Безвозместно помогаю: то, что вы там написали с индексами снизу - чушь, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 23:02 


16/07/14
201
Munin в сообщении #1106407 писал(а):
Безвозмездно помогаю: то, что вы там написали с индексами снизу - чушь, конечно.

Спасибо, буду думать, что не так, вроде вы писали что $dx_i$ - компоненты ковектора или 1-формы значит логично что можно записать тензор $B_j=dx_i$
и вы писали "Нет, конечно, они являются "просто" 1-формами, но на них действует такая же алгебра" значит можно написать $A_j=\partial_i {f}$, раз нельзя написать
$df(x, y) =\Sigma (A_i  B_i)$ значит 1-форма это не ковариантный тензор валентности 1, и вы имеете ввиду их различия, коих я не знаю, поясните?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение14.03.2016, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
specialist в сообщении #1106415 писал(а):
Спасибо, буду думать, что не так, вроде вы писали что $dx_i$ - компоненты ковектора или 1-формы

А теперь скажите, сколько у вас таких форм в вашей "формуле" (1), и сколько - в предыдущей формуле на прошлой странице?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение14.03.2016, 12:14 


16/07/14
201
Munin в сообщении #1106509 писал(а):
А теперь скажите, сколько у вас таких форм в вашей "формуле" (1), и сколько - в предыдущей формуле на прошлой странице?


Тут проще картинку:

Изображение

Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы

если учитывать вас и это сообщение
svv в сообщении #1106319 писал(а):
specialist в сообщении #1106309 писал(а):
$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}(\mathbf {dx})+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}(\mathbf {dy}) = 5(\mathbf {dx})+ 3(\mathbf {dy})$ в $(1, 1)$
А зачем Вы выделяете здесь полужирным $dx$ и $dy$ ? Даже если это компоненты вектора, они же жирным не обозначаются. Надо так:
$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}\;dx+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}\;dy$
В соответствии с тем самым продвинутым взглядом, здесь нет ни векторов, ни их компонент, только ковекторы. Именно, здесь разложение ковектора $df$ по базисным ковекторам $dx$ и $dy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение14.03.2016, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
specialist в сообщении #1106513 писал(а):
Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы

Ну вот это вы поняли неправильно. $dx$ - это одна 1-форма, $dy$ - это другая 1-форма.

Переключиться на другую нотацию сложно. Не торопитесь. Разберитесь с начала.

Но по крайней мере, не воображайте, что этого вообще не надо делать, что не надо читать определений, к которым вас отсылают, и работать головой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение14.03.2016, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
specialist в сообщении #1106513 писал(а):
Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы
Нет. (2) - это элементы базиса пространства 1-форм (грубо говоря), а (1) - это компоненты формы $df$ в этом базисе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение14.03.2016, 14:06 


16/07/14
201
Munin в сообщении #1106534 писал(а):
specialist в сообщении #1106513 писал(а):
Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы

Ну вот это вы поняли неправильно. $dx$ - это одна 1-форма, $dy$ - это другая 1-форма.

Переключиться на другую нотацию сложно. Не торопитесь. Разберитесь с начала.

Но по крайней мере, не воображайте, что этого вообще не надо делать, что не надо читать определений, к которым вас отсылают, и работать головой.


Действительно мне трудно пользоваться понятиями: Вот пример из классической книги Картана: Дифференциальной формой степени $p$, определенной на $U$ и принимающей значения в $F$, называется отображение $\omega: U \to A_p (E; F)$
Поясните как этим пользоваться?

-- 14.03.2016, 15:16 --

Xaositect в сообщении #1106537 писал(а):
specialist в сообщении #1106513 писал(а):
Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы
Нет. (2) - это элементы базиса пространства 1-форм, а (1) - это компоненты формы $df$ в этом базисе.

а базисом они стали, потому что форма однозначно в них описывается? и при этом эти элементы базиса сами являются 1-формами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение14.03.2016, 14:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Набор 1-форм $dx^1, dx^2, ..., dx^n$ является базисом, потому что любая 1-форма $\alpha$ однозначно представляется в виде их линейной комбинации:
$\alpha=\alpha_i dx^i$
Коэффициенты разложения $\alpha_i$ — компоненты формы $\alpha$.
specialist в сообщении #1106542 писал(а):
при этом эти элементы базиса сами являются 1-формами
Так же, как и базисные векторы являются векторами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение14.03.2016, 15:11 


16/07/14
201
$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}\;dx+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}\;dy$ (1)
То есть если
$dx$ - один форма (пусть она и является элементом базиса один формы $df$ )
$dy$ -другая один форма
$df$ - еще одна один форма
$\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}$ - тоже один форма (но уже компонента один формы $df$)
$\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}$ - тоже один форма
а так как 1-форма является ковариантным кососимметричным тензором валентности один:
то тогда выражение (1) можно записать в тензорном виде как:
$df(x, y) =A_i B^i$
где произведение ковариантных кососимметричных тензоров - почленное
где $A_i$ ковариантный кососимметричный тензор с первым членом $\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}$, вторым $\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}$, всеми остальными нулевыми, а их общее количество ограничивается числом размерности пространства в котором мы рассматриваем форму $df$

а $B^i$ это базисный ковектор, как мне подсказали, и по сути его надо бы писать $B_i$ но тогда нельзя применять соглашение Эйнштейна, и выражения будут с суммами как следствие более длинными.
и получается операция $A_i B^i$ это даже и не свертка, а почленное произведение двух ковекторов.
Если уж и это неправильно, моя фантазия заканчивается..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group