Ковектор

[Brukvalub]

specialist в сообщении #1106335 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1106326

писал(а):
specialist, чтобы разговор приобрел смысл, дайте определения понятиям "ковектор", "дифференциал", "градиент".
Не вижу смысла их давать, так как они уже даны

Определения-то даны, только вы в них путаетесь.

[specialist]

Brukvalub в сообщении #1106365 писал(а):

specialist в сообщении #1106335 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1106326

писал(а):
specialist, чтобы разговор приобрел смысл, дайте определения понятиям "ковектор", "дифференциал", "градиент".
Не вижу смысла их давать, так как они уже даны

Определения-то даны, только вы в них путаетесь.

спасибо, кэп

[Munin]

Для начала, предлагается все определения взять из какого-то одного учебника. И ясно понимать из какого: или для 8 класса по мат. анализу, или для 2 курса по диф. формам.

[specialist]

то есть это выражение верное:
$df(x, y) =\Sigma ((\partial_i {f}) dx_i)$ (1)
то есть я могу сделать замену
$A_i=\partial_i {f}$ - один раз ковариантный тензор
$B_i=dx_i$ - тоже один раз ковариантный тензор
значит можно записать выражение (1) как :
$df(x, y) =\Sigma (A_i B_i)$ (2)
и это более "гибкий" взгляд на дифференциал, получается каждый член суммы (2) является компонентой ковектора?
а запись
$df(x, y) =\Sigma (A_i D^i)$
а это старая запись, менее функциональная
где за $D^i=dx^i$ - взят вектор
напишите где прав, где нет.

[Brukvalub]

specialist в сообщении #1106378 писал(а):

напишите где прав, где нет.

Какой смысл пояснять что-то тому, кто путается в определениях и настаивает на принципе " я и без вас все знаю".

[specialist]

Brukvalub в сообщении #1106387 писал(а):

Какой смысл пояснять что-то тому, кто путается в определениях и настаивает на принципе " я и без вас все знаю".

скорее так: "я и без вас все узнаю, но от гуманной помощи не откажусь, и сам её в случае предоставлю безвозмездно" если вы не хотите помогать безвозмездно, ну и удачи вам.

[Munin]

Безвозместно помогаю: то, что вы там написали с индексами снизу - чушь, конечно.

[specialist]

Munin в сообщении #1106407 писал(а):

Безвозмездно помогаю: то, что вы там написали с индексами снизу - чушь, конечно.

Спасибо, буду думать, что не так, вроде вы писали что $dx_i$ - компоненты ковектора или 1-формы значит логично что можно записать тензор $B_j=dx_i$
и вы писали "Нет, конечно, они являются "просто" 1-формами, но на них действует такая же алгебра" значит можно написать $A_j=\partial_i {f}$, раз нельзя написать
$df(x, y) =\Sigma (A_i B_i)$ значит 1-форма это не ковариантный тензор валентности 1, и вы имеете ввиду их различия, коих я не знаю, поясните?

[Munin]

specialist в сообщении #1106415 писал(а):

Спасибо, буду думать, что не так, вроде вы писали что $dx_i$ - компоненты ковектора или 1-формы

А теперь скажите, сколько у вас таких форм в вашей "формуле" (1), и сколько - в предыдущей формуле на прошлой странице?

[specialist]

Munin в сообщении #1106509 писал(а):

А теперь скажите, сколько у вас таких форм в вашей "формуле" (1), и сколько - в предыдущей формуле на прошлой странице?

Тут проще картинку:



Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы

если учитывать вас и это сообщение

svv в сообщении #1106319 писал(а):

specialist в сообщении #1106309 писал(а):

$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}(\mathbf {dx})+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}(\mathbf {dy}) = 5(\mathbf {dx})+ 3(\mathbf {dy})$ в $(1, 1)$

А зачем Вы выделяете здесь полужирным $dx$ и $dy$ ? Даже если это компоненты вектора, они же жирным не обозначаются. Надо так:
$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}\;dx+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}\;dy$
В соответствии с тем самым продвинутым взглядом, здесь нет ни векторов, ни их компонент, только ковекторы. Именно, здесь разложение ковектора $df$ по базисным ковекторам $dx$ и $dy$.

[Munin]

specialist в сообщении #1106513 писал(а):

Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы

Ну вот это вы поняли неправильно. $dx$ - это одна 1-форма, $dy$ - это другая 1-форма.

Переключиться на другую нотацию сложно. Не торопитесь. Разберитесь с начала.

Но по крайней мере, не воображайте, что этого вообще не надо делать, что не надо читать определений, к которым вас отсылают, и работать головой.

[Xaositect]

specialist в сообщении #1106513 писал(а):

Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы

Нет. (2) - это элементы базиса пространства 1-форм (грубо говоря), а (1) - это компоненты формы $df$ в этом базисе.

[specialist]

Munin в сообщении #1106534 писал(а):

specialist в сообщении #1106513 писал(а):

Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы

Ну вот это вы поняли неправильно. $dx$ - это одна 1-форма, $dy$ - это другая 1-форма.

Переключиться на другую нотацию сложно. Не торопитесь. Разберитесь с начала.

Но по крайней мере, не воображайте, что этого вообще не надо делать, что не надо читать определений, к которым вас отсылают, и работать головой.

Действительно мне трудно пользоваться понятиями: Вот пример из классической книги Картана: Дифференциальной формой степени $p$, определенной на $U$ и принимающей значения в $F$, называется отображение $\omega: U \to A_p (E; F)$
Поясните как этим пользоваться?

-- 14.03.2016, 15:16 --

Xaositect в сообщении #1106537 писал(а):

specialist в сообщении #1106513 писал(а):

Насколько я вас понял, 1 - это компоненты первой 1-формы, 2- это компоненты второй 1-формы

Нет. (2) - это элементы базиса пространства 1-форм, а (1) - это компоненты формы $df$ в этом базисе.

а базисом они стали, потому что форма однозначно в них описывается? и при этом эти элементы базиса сами являются 1-формами.

[svv]

Набор 1-форм $dx^1, dx^2, ..., dx^n$ является базисом, потому что любая 1-форма $\alpha$ однозначно представляется в виде их линейной комбинации:
$\alpha=\alpha_i dx^i$
Коэффициенты разложения $\alpha_i$ — компоненты формы $\alpha$.

specialist в сообщении #1106542 писал(а):

при этом эти элементы базиса сами являются 1-формами

Так же, как и базисные векторы являются векторами.

[specialist]

$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}\;dx+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}\;dy$ (1)
То есть если
$dx$ - один форма (пусть она и является элементом базиса один формы $df$ )
$dy$ -другая один форма
$df$ - еще одна один форма
$\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}$ - тоже один форма (но уже компонента один формы $df$)
$\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}$ - тоже один форма
а так как 1-форма является ковариантным кососимметричным тензором валентности один:
то тогда выражение (1) можно записать в тензорном виде как:
$df(x, y) =A_i B^i$
где произведение ковариантных кососимметричных тензоров - почленное
где $A_i$ ковариантный кососимметричный тензор с первым членом $\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}$, вторым $\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}$, всеми остальными нулевыми, а их общее количество ограничивается числом размерности пространства в котором мы рассматриваем форму $df$

а $B^i$ это базисный ковектор, как мне подсказали, и по сути его надо бы писать $B_i$ но тогда нельзя применять соглашение Эйнштейна, и выражения будут с суммами как следствие более длинными.
и получается операция $A_i B^i$ это даже и не свертка, а почленное произведение двух ковекторов.
Если уж и это неправильно, моя фантазия заканчивается..