2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Ковектор
Сообщение13.03.2016, 15:45 


16/07/14
201
Собственно у меня вопрос:
Почему дифференциал скалярной функции называют ковектором или 1-дифференциальной формой то бишь ковариантным тензором валентности 1 , на педивикии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1 ... 0%BD%D1%82 это скаляр, можете строго пояснить - дифференциал скалярной функции это скаляр или ковектор? (я понимаю что градиент есть ковектор, но почему дифференциал?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 15:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А чем дифференциал в конкретной точке отличается от ковектора? У него векторный аргумент, по которому он линеен, и скалярное значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 15:57 


16/07/14
201
arseniiv в сообщении #1106287 писал(а):
А чем дифференциал в конкретной точке отличается от ковектора? У него векторный аргумент, по которому он линеен, и скалярное значение.

дифференциал это число, ковектор это число и направление

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 16:00 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Дифференциал в данной точке — это число? С какой стати?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 16:09 


16/07/14
201
arseniiv в сообщении #1106292 писал(а):
Дифференциал в данной точке — это число? С какой стати?

ну дифференциал это спаривание ковектора с вектором, то есть это должно быть тензором нулевой валентности, инвариантом - числом? где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 16:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
specialist в сообщении #1106294 писал(а):
ну дифференциал это спаривание ковектора с вектором
С каким-то одним заданным заранее вектором?

-- Вс мар 13, 2016 18:17:55 --

Короче, напишите дифференциал какой-нибудь функции в какой-нибудь точке для примера. Скажем, функции $f(x, y) = x^2 + 3xy$ в $(1, 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
specialist в сообщении #1106294 писал(а):
ну дифференциал это спаривание ковектора с вектором

Есть немного разные терминологии. В одних дифференциалом называют "спаривание ковектора с вектором", в других - тот самый ковектор до спаривания. Спорить тут не о чем, надо просто принять к сведению существование другого взгляда на вещи.

Кроме того, взгляд про ковектор - в чём-то абстрактнее, гибче и совершеннее. (Всеми силами избегал слова "продвинутее".)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 16:29 


16/07/14
201
$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}(\mathbf {dx})+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}(\mathbf {dy}) = 5(\mathbf {dx})+ 3(\mathbf {dy})$ в $(1, 1)$
вот так примерно, у меня еще вопрос в современной геометрии фоменко вектор расписывается по базису ковекторов - почему так?

-- 13.03.2016, 17:38 --

Munin в сообщении #1106302 писал(а):
Есть немного разные терминологии. В одних дифференциалом называют "спаривание ковектора с вектором", в других - тот самый ковектор до спаривания. Спорить тут не о чем, надо просто принять к сведению существование другого взгляда на вещи.

Кроме того, взгляд про ковектор - в чём-то абстрактнее, гибче и совершеннее. (Всеми силами избегал слова "продвинутее".)

Что вы имеете виду под взглядом на ковектор? Как математики не узаконили только один взгляд, или скорее из-за чего это расхождение возникло, это же вызывает путаницу с индексами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
specialist в сообщении #1106309 писал(а):
$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}(\mathbf {dx})+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}(\mathbf {dy}) = 5(\mathbf {dx})+ 3(\mathbf {dy})$ в $(1, 1)$
А зачем Вы выделяете здесь полужирным $dx$ и $dy$ ? Даже если это компоненты вектора, они же жирным не обозначаются. Надо так:
$df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}\;dx+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}\;dy$
В соответствии с тем самым продвинутым взглядом, здесь нет ни векторов, ни их компонент, только ковекторы. Именно, здесь разложение ковектора $df$ по базисным ковекторам $dx$ и $dy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 16:57 


16/07/14
201
аа, вон оно как, я выделял дифференциалы так как мне сказали что на многообразиях они являются базисом в котором живет 1-диф. форма. То есть тут градиенты считаются просто числами, и к друг другу отношения не имеют?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
specialist, чтобы разговор приобрел смысл, дайте определения понятиям "ковектор", "дифференциал", "градиент".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 17:15 


16/07/14
201
Brukvalub в сообщении #1106326 писал(а):
specialist, чтобы разговор приобрел смысл, дайте определения понятиям "ковектор", "дифференциал", "градиент".

Не вижу смысла их давать, так как они уже даны, а если вы подразумеваете некий произвол в определениях, то само научное знание строится так чтоб произвола не было, для меня ковектор и градиент это тензоры ковариантные валентности один, дифференциал - всегда считал скаляром так как это спаривание ковектора с вектором, вот теперь мне интересно на каком основании держится "продвинутый взгляд" т.е. почему можно сказать что частная производная это просто коэффициент а не компонента ковектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
specialist в сообщении #1106309 писал(а):
Что вы имеете виду под взглядом на ковектор?

Не на ковектор, а на дифференциал.

svv в сообщении #1106319 писал(а):
А зачем Вы выделяете здесь полужирным $dx$ и $dy$ ? Даже если это компоненты вектора, они же жирным не обозначаются.

По-дифгеометрически, $dx=d\,x$ - то есть оператор дифференциала $d,$ применённый к скалярной функции $x.$ Скалярная функция есть 0-форма, и в итоге $dx$ - 1-форма. Всё-таки хоть и не вектор, но уж точно не компонент вектора, а инвариантный геометрический объект.

specialist в сообщении #1106323 писал(а):
То есть тут градиенты считаются просто числами, и к друг другу отношения не имеют?

Нет, конечно, они являются "просто" 1-формами, но на них действует такая же алгебра над $\mathbb{R},$ аналогичная алгебре векторов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 19:08 


16/07/14
201
если по диффгеометрически $dx=d\,x$ - 1 дифформа, то дифференциал скалярной функции $df(x, y) = \frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}\;dx+\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}\;dy=\Sigma ((\partial {f_i}) dx_i)$ вы это имеете ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковектор
Сообщение13.03.2016, 19:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Это так в любом случае, только всё-таки не $\partial f_i$, а $\partial_i f$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group