Пусть

- нормированное линейное пространство. Возьмем каноническую метрику, порожденную этой нормой, и рассмотрим топологию, индуцированную этой метрикой.
Назовем
преобразованием подобия функцию

вида

, где

.
(Как-то такая функция в учебнике линейной алгебры называлась, но я забыл. В школе для

ее называли линейной функцией, но здесь такое название будет злом, ибо легко спутать с линейным оператором. Насколько я понимаю, это то самое преобразование подобия, о котором детям рассказывают в школьной геометрии. Взять фигуру, перенести в другое место и/или растянуть/сжать).
Назовем два множества

и
подобными, если есть такое преобразование подобия

, что

. Очевидно, что это отношение эквивалентности. Назовем класс всех множеств, подобных множеству

,
классом подобия 
.
Лемма 1. Множество, подобное открытому, открыто.
Лемма 2. Если

ограничено, то в любом открытом шаре найдется

, подобное

.
Основное утверждение. Класс подобия любого открытого ограниченного непустого множества

образует базу топологии

.
Рассмотрим такой класс

множеств, подобных

. По лемме 1, его элементы открыты. Чтобы доказать основное утверждение, нам надо доказать, что:
1. Для любого

найдется

такое, что

. Это легко: берем

и параллельным переносом пуляем его в точку

.
2. Если

и

, то найдется

такое, что

и

.
Тут и пригодится лемма 2.

открыто, значит, включает открытый шар с центром в точке

. По лемме, в этом шаре найдется

, подобное

. Уменьшим

до половины радиуса шара и сдвинем параллельным переносом в точку

. Вуаля - получили элемент класса подобия, содержащий точку

и содержащийся в

.
Теорема доказана набросок доказательства закончен.
Вопрос простой: у меня все правильно или я где-то напахал?
P.S. Все это витийство родилось из осмысления того факта, что базу на канонической плоскости образуют не только открытые круги, но и открытые квадраты. И мне очень захотелось доказать, что базу образуют также открытые жирафики.