Пусть
- нормированное линейное пространство. Возьмем каноническую метрику, порожденную этой нормой, и рассмотрим топологию, индуцированную этой метрикой.
Назовем
преобразованием подобия функцию
вида
, где
.
(Как-то такая функция в учебнике линейной алгебры называлась, но я забыл. В школе для
ее называли линейной функцией, но здесь такое название будет злом, ибо легко спутать с линейным оператором. Насколько я понимаю, это то самое преобразование подобия, о котором детям рассказывают в школьной геометрии. Взять фигуру, перенести в другое место и/или растянуть/сжать).
Назовем два множества
и
подобными, если есть такое преобразование подобия
, что
. Очевидно, что это отношение эквивалентности. Назовем класс всех множеств, подобных множеству
,
классом подобия .
Лемма 1. Множество, подобное открытому, открыто.
Лемма 2. Если
ограничено, то в любом открытом шаре найдется
, подобное
.
Основное утверждение. Класс подобия любого открытого ограниченного непустого множества
образует базу топологии
.
Рассмотрим такой класс
множеств, подобных
. По лемме 1, его элементы открыты. Чтобы доказать основное утверждение, нам надо доказать, что:
1. Для любого
найдется
такое, что
. Это легко: берем
и параллельным переносом пуляем его в точку
.
2. Если
и
, то найдется
такое, что
и
.
Тут и пригодится лемма 2.
открыто, значит, включает открытый шар с центром в точке
. По лемме, в этом шаре найдется
, подобное
. Уменьшим
до половины радиуса шара и сдвинем параллельным переносом в точку
. Вуаля - получили элемент класса подобия, содержащий точку
и содержащийся в
.
Теорема доказана набросок доказательства закончен.
Вопрос простой: у меня все правильно или я где-то напахал?
P.S. Все это витийство родилось из осмысления того факта, что базу на канонической плоскости образуют не только открытые круги, но и открытые квадраты. И мне очень захотелось доказать, что базу образуют также открытые жирафики.