Уравнение диффузии

[SlayZar]

Для одномерного однородного уравнения диффузии

$$d_tu=Dd^2_xu$$

и неоднородного уравнения диффузии

$$d_tu=Dd^2_xu+g(x)$$

$D>0$
условие Неймана на левом краю стержня: $d_xu(t,0)=0$
и условие Дирихле на правом: $u(t,l)=0$

1) Надо найти собственные числа и собственные функции
Для однородного я ввел оператор $A=d^2_xu$
и нашел собственные числа оператора А из уравнения $DAu=\lambda u$

Надо ли теперь отдельно искать сч для неоднородного или они будут такими же? И если такими же, то как это можно обосновать?

2)Используя собственные числа и собственные функции, построить методом Фурье приближенное решение u=u(t,x) с начальным условием $u(0,x)=F(x)$

Для однородного сделал. Представил функцию $u(x,t)$ как произведение функций от x на функцию от t. Решил ДУ и потом константу получил из разложении $F(x)$ в ряд Фурье.

А как следует решать в случае неоднородного уравнения? Подобным способом решить не получилось.

[Munin]

SlayZar в сообщении #1105527 писал(а):

Надо ли теперь отдельно искать сч для неоднородного или они будут такими же? И если такими же, то как это можно обосновать?

Будут такими же. Вспомните определение с. ч., и относится ли к ним правая часть вообще.

SlayZar в сообщении #1105527 писал(а):

А как следует решать в случае неоднородного уравнения?

Общее решение неоднородного = общее решение однородного + частное решение неоднородного.

Нач. условия запихиваете в общее решение однородного.