Mikhail SokolovСтранно, что получилось для

- не должно, вроде бы....По крайней мере, для произвольных

.
1. Разрешив относительно

уравнение

(ну, там, где работает теорема о неявной), получим, что Вы ищете решение в виде

. Дифференцируя это равенство, из Ваших уравнений получим

Это значит, что производная

выражается в точности через саму функцию

(т.е.,

удовлетворяет некоторому дифуру

, правда,

еще может зависеть от

- как от параметра). Ну, и если это так, то

легко сосчитается по

.
2. С другой стороны, выписав условия совместности для вашей системы (т.е., симметричность частных производных,

), получим, что для

должно выполняться равенство

. Оно выполняется, если выполняется условие

из п.1. Но верно ли обратное?
Можно, конечно, условие совместности переписать так :

не зависит от

, получить отсюда

, и т.д. Это уже какая-то совсем простая система (

- параметр, будем его вставлять в константы интегрирования). Решив ее, Вы получите описание того класса функций

, для которых Ваша система разрешима (и, если они достаточно красивы - как в п.1 - сумеете системку решить)...
Почитать можно у Олвера - про тест Картана , и т.п. - но там все так сурово изложено, что, ...