Mikhail SokolovСтранно, что получилось для
- не должно, вроде бы....По крайней мере, для произвольных
.
1. Разрешив относительно
уравнение
(ну, там, где работает теорема о неявной), получим, что Вы ищете решение в виде
. Дифференцируя это равенство, из Ваших уравнений получим
Это значит, что производная
выражается в точности через саму функцию
(т.е.,
удовлетворяет некоторому дифуру
, правда,
еще может зависеть от
- как от параметра). Ну, и если это так, то
легко сосчитается по
.
2. С другой стороны, выписав условия совместности для вашей системы (т.е., симметричность частных производных,
), получим, что для
должно выполняться равенство
. Оно выполняется, если выполняется условие
из п.1. Но верно ли обратное?
Можно, конечно, условие совместности переписать так :
не зависит от
, получить отсюда
, и т.д. Это уже какая-то совсем простая система (
- параметр, будем его вставлять в константы интегрирования). Решив ее, Вы получите описание того класса функций
, для которых Ваша система разрешима (и, если они достаточно красивы - как в п.1 - сумеете системку решить)...
Почитать можно у Олвера - про тест Картана , и т.п. - но там все так сурово изложено, что, ...