Система квазилинейных ур-й в частн. производных 1-го порядка

[Mikhail Sokolov]

Пусть $x=(x_1,...,x_n)$. $u(x)$ - неизвестная непрерывно дифференцируемая функция, $f(x,u)$ - заданная непрерывно дифференцируемая функция.
Рассмотрим следующую систему квазилинейных уравнений в частных производных 1-го порядка относительно $u$:
$\frac {u_1(x)} {f_1(x,u)}=...=\frac {u_n(x)} {f_n(x,u)}$, где $u_i= \frac {\partial u} {\partial x_i}$, $f_i= \frac {\partial f} {\partial x_i}>0$, $i=1,...,n$.

Пытаюсь доказать, что общее решение этой системы имеет вид:
$F(u,f(x,u))=0$, где $F$ - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Для случая $n=2$ это получается методом характеристик: $u$ и $f(x_1,x_2,u)$ - первые интегралы соответствующего квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных 1-ого порядка.

Подскажите, пожалуйста, какую литературу смотреть в связи с этим вопросом. Спасибо.

[DeBill]

Mikhail Sokolov
Странно, что получилось для $n=2$ - не должно, вроде бы....По крайней мере, для произвольных $f$.
1. Разрешив относительно $u$ уравнение $F(u,v)$ (ну, там, где работает теорема о неявной), получим, что Вы ищете решение в виде $u = \varphi (f(x,u))$. Дифференцируя это равенство, из Ваших уравнений получим

$\varphi '(f) \cdot (1 + f'_u) =1$ $~~~~~~~~~~~\ast$

Это значит, что производная $f'_u$ выражается в точности через саму функцию $f$
(т.е., $f$ удовлетворяет некоторому дифуру $f'_u = P(f)$, правда, $P$ еще может зависеть от $x$ - как от параметра). Ну, и если это так, то $\varphi$ легко сосчитается по $P$.
2. С другой стороны, выписав условия совместности для вашей системы (т.е., симметричность частных производных, $u''_{km} = u''_{mk}$), получим, что для $f$ должно выполняться равенство $f''_{ku}\cdot f'_m = f''_{mu}\cdot f'_k$. Оно выполняется, если выполняется условие $\ast$ из п.1. Но верно ли обратное?
Можно, конечно, условие совместности переписать так : $\ln(\frac{f_k}{f_m})$ не зависит от $u$, получить отсюда $f_k = C_{k,m}(x)\cdot f_m$, и т.д. Это уже какая-то совсем простая система ($u$ - параметр, будем его вставлять в константы интегрирования). Решив ее, Вы получите описание того класса функций $f$, для которых Ваша система разрешима (и, если они достаточно красивы - как в п.1 - сумеете системку решить)...
Почитать можно у Олвера - про тест Картана , и т.п. - но там все так сурово изложено, что, ...

[Mikhail Sokolov]

Спасибо. Я рассуждал следующим образом. Вот набросок доказательства.
Сведем рассматриваемую систему к одному уравнению:
$\frac {u_1} {f_1} = \frac {\lambda_2 u_2 +...+\lambda _n u_n} {\lambda_2 f_2 +...+\lambda _n f_n}$ для любых чисел $\lambda _2,...,\lambda_n$.
Этому уравнению соответствует следующая система автономных ДУ (метод характеристик: см., например, Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. 2007 с. 224 и далее):
$\dot {x}_1=-(\lambda_2 f_2 +...+\lambda _n f_n)$,
$\dot {x}_2= \lambda_2 f_1$,
...
$\dot {x}_n= \lambda_n f_1$,
$\dot {u} = 0$.

У этой системы следующие первые интегралы: $u$, $f(x,u)$, $\frac {x_2} {\lambda_2} - \frac {x_n} {\lambda_n}, ..., \frac {x_{n-1}} {\lambda_{n-1}} - \frac {x_n} {\lambda_n}$. Следовательно, общее решение имеет вид $F(u, f(x,u), \frac {x_2} {\lambda_2} - \frac {x_n} {\lambda_n}, ..., \frac {x_{n-1}} {\lambda_{n-1}} - \frac {x_n} {\lambda_n})=0$. Поскольку это должно быть верно для любых $\lambda _2,...,\lambda_n$, то от последних $n-1$ аргументов $F$ не зависит.

[DeBill]

Mikhail Sokolov
1. У Вас все верно. Можно чуть-чуть проще - без $\lambda$-ов: сравнивая первую дробь со второй, первую - с третьей, и т.д. - получим то же самое.
2. Похоже, при переписывании Вашей системы, я нечаянно приравнял все дроби к "1" - и полезли условия переопределенности. Ну, звиняйте; бывает...

[Mikhail Sokolov]

Спасибо Вам!