Вопрос об h в корзине

[Blancke_K]

Pphantom
КХД

[Pphantom]

Blancke_K в сообщении #1104571 писал(а):

КХД

А конкретнее? Я имею в виду теорию с действием (3) (в Ваших обозначениях).

[Blancke_K]

Pphantom в сообщении #1104574 писал(а):

Blancke_K в сообщении #1104571 писал(а):

КХД

А конкретнее? Я имею в виду теорию с действием (3) (в Ваших обозначениях).

Полноценная КХД - это действие (3) с группой $SU(3)$ + фермионы в фундаментальном представлении. Глюоны всегда в присоединенном.
Но в моем случае надо говорить именно про бозонный сектор, потому что кварки могут образовывать связанные состояния, - адроны, которые приближенно описываются нерелятивистской КМ, для которой то что написано Ландау имеет смысл. Но в любом случае потенциалы в этих квантово-механических моделях строятся феноменологически, вывести их еще ни у кого не получилось.

[Pphantom]

В общем, это обтекаемый отрицательный ответ.

[Blancke_K]

Pphantom
Я просто не вижу смысла говорить слова, если есть формальный математический аппарат и экспериментальные данные, которые говорят не в пользу $\hbar$ в калибровочных теориях.

[Munin]

Blancke_K
В КХД есть режим асимптотической свободы. Чего вы ещё требуете?

[type2b]

Blancke_K, странные вещи Вы говорите.

Blancke_K в сообщении #1104528 писал(а):

Почему для $G=U(1)$, мы-таки сели на решения уравнений движения, а не самодуальности, можно понять, вспомнив правила нахождения условного экстремума и посмотрев на формулу (13,27) 1-го тома Рубакова. В частности, можно понять, что приведённая в этой формуле характеристика исчезает в случае $G=U(1)$ и условий на экстремум в этом случае нет.

Вы путаете теорию в Евклиде и в Минковском. В Евклиде, действительно, решениями уравнений Янга-Миллса, убывающими нужным образом на бесконечности, являются инстантоны и антиинстантоны. Но в абелевой теории в той же ситуации единственное решение вообще будет нулевое, с точностью до калибровочного преобразования. Это так, потому что в Евклиде уравнения эллиптические (точнее, эллиптический комплекс), и у них бывает мало решений. В абелевой теории мы просто ищем убывающие гармонические функции, которых не бывает. Формула (13.27), если у меня то же издание Рубакова, это топологический заряд. Если я Вас правильно понял, то по-Вашему, его наличие накладывает связи при варьировании. Ничего подобного! Вы можете менять поля как угодно в конечной области, оставляя их поведение на бесконечности одинаковым, и топологический заряд не изменится. Так что его существование не уменьшает количество решений, а как раз и позволяет неабелевой теории иметь нетривиальные решения, в то время как в абелевой теории они тривиальны.

В Минковском же уравнения гиперболические (или как там это правильно у математиков называется? короче, типа волнового уравнения). И в абелевой, и в неабелевой теории у них есть решения, ведущие себя на бесконечности как плоские волны. Только в неабелевой теории эти решения трудно находить, для этого надо отсуммировать древесные диаграммы.

Чтобы нам понять, что Вы хотите сказать о константе $\hbar$, предлагаю Вам рассмотреть пример 5д Янга-Миллса, который IR-free.

[amon]

Ну, теперь можно "не засоряя эфир" поговорить на тему $\hbar$.

Blancke_K в сообщении #1104528 писал(а):

Теперь к $\hbar$. Записать производящую функцию в виде $Z=\int {\mathcal{D}\varphi} e^{-S/\hbar}$ можно тогда, когда у Вас $S$ имеет явный вид $S=S_{free}+S_{int}$ (2)

Это не очень мне понятное утверждение. В КТП (в отличии от квантовой механики) функциональный интеграл (ФИ) нельзя определить как предел чего-то там. Могу ошибаться, (в дальнейшем следует считать, что все фразы начинаются с этого утверждения) но есть три возможных толкования символа $Z=\int {\mathcal{D}\varphi} e^{-S/\hbar}$: символ ряда теории возмущений, символ квазиклассического ("перевального") разложения и символ результата численного счета с целью получения премии за решение проблемы конфайнманта. При этом ни кто не доказал, что результаты таких вычислений совпадут. Ваше утверждение о необходимости разложения $S=S_{free}+S_{int}$ соответствует первому толкованию. Для второго, о котором собственно речь, в нем нет необходимости.

Blancke_K в сообщении #1104528 писал(а):

При $\hbar\rightarrow 0$ согласно физической интерпретации мы должны сесть на классическую траекторию.

Ну, что считать классической траекторией. Для инстантонов (типичная квазиклассика) мы имеем "классическое решение" под барьером (либо - при мнимом времени, но хрен редьки не слаще), для фермионов - решение уравнений движения на грассмановых переменных (что-то я на калькуляторах не видел переключателя "числа-грассмановы переменные"). Все, что означают слова "в пределе $\hbar\rightarrow 0$" это, что мы используем метод перевала, т.е. раскладываемся в окрестности траектории, на которой $\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)}=0$. Как и в случае обычных интегралов, "перевальная точка" может как принадлежать исходному "контуру интегрирования" (являться реальной классической траекторией), так и лежать где-то в стороне. В последнем случае надо "деформировать контур интегрирования" - операция в случае функциональных интегралов не слишком хорошо определенная.

Blancke_K в сообщении #1104528 писал(а):

Вспомним, что к квантовой теории константа связи является бегущей:

А здесь, боюсь, путаются первая и вторая трактовки ФИ. Перенормировка - атрибут теории возмущений, и, формально, для квазиклассики не нужна. Тем не менее, ни кто не мешает сосчитать по перевалу интеграл $Z=\int {\mathcal{D}A}\exp(-\frac{1}{g^{2}}\int_{\mathbb{R}^{4}}\operatorname{Tr} F^{2})$ и назвать это квазиклассическим решением.

Еще раз. Я хочу сказать, что то, что решение "перевального условия" $\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)}=0$ не будет решением в "большом мире", IMHO, не является основанием для того, что бы утверждать, что постоянная $\hbar$ не фундаментальна. Это, скорее, означает, что с ФИ сейчас ситуация как с бесконечными произведениями во времена Эйлера - хочется использовать, но провраться - не фиг делать.

[type2b]

Все же хотелось бы услышать ответ Blancke_K на мой комментарий, поскольку, мне кажется, имеет место непонимание важных и базовых вещей.

On an unrelated matter,

amon в сообщении #1104709 писал(а):

В КТП (в отличии от квантовой механики) функциональный интеграл (ФИ) нельзя определить как предел чего-то там. Могу ошибаться, (в дальнейшем следует считать, что все фразы начинаются с этого утверждения) но есть три возможных толкования символа $Z=\int {\mathcal{D}\varphi} e^{-S/\hbar}$: символ ряда теории возмущений, символ квазиклассического ("перевального") разложения и символ результата численного счета с целью получения премии за решение проблемы конфайнманта. При этом ни кто не доказал, что результаты таких вычислений совпадут. Ваше утверждение о необходимости разложения $S=S_{free}+S_{int}$ соответствует первому толкованию. Для второго, о котором собственно речь, в нем нет необходимости.

Во-первых, первое и второе толкования -- это одно и то же. Просто обычно мы раскладываемся над тривиальной седловой точкой, но точно такая же теория возмущений существует над любой квазиклассической седловой точкой. Разложение $S_{\rm free}+S_{int}$ там для флуктуаций такое же.

Насчет толкований функционального интеграла, Вы, конечно, знаете, что можно его считать не только по теории возмущений, но и на решетке (http://arxiv.org/archive/hep-lat). Так что утверждение

amon в сообщении #1104709 писал(а):

В КТП (в отличии от квантовой механики) функциональный интеграл (ФИ) нельзя определить как предел чего-то там.

неверно. Что мы знаем о том, можно ли такой предел определить математически строго -- отдельная тема, конечно.

Относительно этого:

amon в сообщении #1104709 писал(а):

В последнем случае надо "деформировать контур интегрирования" - операция в случае функциональных интегралов не слишком хорошо определенная.

Не такая уж и плохо определенная. Оказывается, можно для функциональных интегралов исследовать зависимость от контура интегрирования, явления Стокса и т.п. См., например, http://arxiv.org/abs/1001.2933 . Это всё детали, к топику мало относящиеся, но я просто хочу сказать, что функциональный интеграл -- штука более понятная и хорошо определенная, чем можно ожидать. Так что я не согласен с

amon в сообщении #1104709 писал(а):

Это, скорее, означает, что с ФИ сейчас ситуация как с бесконечными произведениями во времена Эйлера - хочется использовать, но провраться - не фиг делать.

[amon]

2 type2b.
Мы можем, конечно, слегка пободаться для интереса, но как-то пока у меня особого желания нет ;) Единственно, где, пожалуй, возражу - это что полевой интеграл это предел интеграла на решетке. Я, наверно, отстал от жизни, но мне казалось, что на решетке что-то считается только когда постоянная этой решетки $a$ конечна (тогда постоянная решетки - параметр обрезания в перенормировке), и предел $a\to 0$ взять невозможно, в отличии от Фейнмановского интеграла в квантовой механике, где такой предел ($\Delta t\to 0$) худо-бедно, но берется. Если это не так, ткните пожалуйста носом где про это прочитать можно.

[type2b]

У меня тоже нет желания бодаться.

Что касается решеток, то я не вполне понимаю вопрос. На практике в Монте-Карло вычислениях $a$, разумеется, конечно. Потом берется непрерывный предел. При этом $g$ стремится к нулю, в соответствии с ренормгруппой. В результате мы высаживаемся в критическую точку, которая описывается обычной continuum theory. Что решеточное действие в этом пределе превращается в обычное, это очевидно. Видимо, Вы спрашиваете о какой-то тонкости, о которой я просто не знаю.

[v_n]

Я не специалист. Только книжечки про инстантоны почитываю. Но пару замечаний выскажу. В действии (3) под интегралом стоит точная форма и естественно в классике мы не получим вообще никаких уравнений движения. Хоть для абелева поля, хоть для неабелева, поскольку вариация такого действия тождественный нуль.

Цитата:

Пространство абсолютных минимумов (3) известно - это пространство решений уравнения самодуальности (или антисамодуальности, не будем вдаваться в эти тонкости):

$F=\pm*F$ (5)

Это неверно. Действие будет целочисленным (если оно конечно) при любом несингулярном потенциале. (В евклидовом случае конечно)
Уравнения самодуальности доставляют абсолютный минимум для совершенно другого действия.
А именно $\int \operatorname{Tr}({F\cdot^*F})$
Мне кажется, что теорий с таким действием (3) вообще не существует.

[type2b]

Под эф-в-квадрате там имелось в виду, конечно, эф-мю-ню в квадрате, т.е. обычное действие, а не эф-ведж-эф, и все это поняли. Кстати, теория с одним эф-ведж-эф существует, только в ней надо зафиксировать большую калибровочную инвариантность. Называется конструкция Атьи-Джеффри для телрии Дональдсона.

[Blancke_K]

Раз тут сидят профессионалы, читающие такие умные статьи, то буду предельно краток, тем более в будние дни у меня времени не очень много. Если тема будет кому-то интересно, то активно пообсуждать можно на выходных.
1) Под действием (3) я имел ввиду следующее:

$S=\frac{1}{g{2}}\int_{\mathbb{R}^{4}}\operatorname{Tr} F\wedge \ast F=\frac{1}{g^{2}}||F||$ (1)

Никакой точностью тут и не пахнет.

Есть ещё топологическая характеристика:

$c_{2}=\frac{1}{8\pi^{2}}\int_{\mathbb{R}^{4}}\operatorname{Tr} F\wedge F$ (2)

Напомню, что в четырёхмерии звездочка бьёт из 2-форм в 2-формы. Собственных значений у неё два, что следует из равенства $\ast^{2}=1$. Поэтому 2-форма кривизны:

$F=F^{+}+F^{-}$ (3)

Прямым вычислением можно убедиться, что

$||F||=||F^{+}||+||F^{-}||$ (4)

$8\pi^{2}c_{2}=||F^{+}||-||F^{-}||$ (5)

Из (4)-(5) следует, что абсолютный минимум (1) достигается на пространстве самодуальных или антисамодуальных связностей. Про убывания на бесконечности я вообще ничего не говорил вроде.

2) Было замечание по поводу аналитического продолжения в пространство Минковского.
Инстантоны в Евклидовом $\mathbb{R}^{4}$ не покрывают все пространство решений уравнений движения в пространстве Минковского. Всё, что мы делаем, - это замену $t\rightarrow -i\tau$. Свойство самодуальности этой вещью не испортить. Кстати, исторически Грибов считал, что Евклидовы решения при аналитическом продолжении в пространство Минковского можно интерпретировать как процессы туннелирования. Возможно, дам ссылку на литературу со временем.

Ну а вообще, что мешает построить в неявном виде решение вот таких уравнений?

$D*F^{+}=0; D*F^{-}=0; 8\pi^{2}k=||F^{+}||-||F^{-}||$

3) amon говорил, что перенормировка - атрибут теории возмущений и ей не стоит аргументировать квазиклассику в функциональном интеграле. Я с этим не согласен. Вообще, классическая теория конформно-инвариантна, то есть там как бы много теорий с разными $g$. В КТП конформная инвариантность рушится и это очень важное свойство теории. По сути, о появлении масштаба можно говорить прямо на уровне определения теории. Надо только добавить, за счёт какого механизма это происходит.

4) Насчёт КЭД я возможно погорячился, не знаю. Что значит "решение нулевое"? Действие пишется так:

$S=\frac{1}{e^{2}}\int_{\mathbb{R}^{4}}dA\wedge\ast dA$ (6)

На данный момент, да, при $\hbar\rightarrow 0$ в функциональный интеграл основной вклад дают нули действия. Однако над $\mathbb{R}^{4}$ плоских связностей нет, поэтому нуль достигается на тривиальных полевых конфигурациях $A=0$ (с точностью до калибровочного преобразования).

Что же, давайте руками наложим условие $A\neq0$. Тогда надо честно искать "седловую точку" и даётся она пространством решений уравнений Максвелла.

5) Речь на самом деле идёт не о Янге-Миллсе конкретно, а о том, что в функциональном интеграле под $\hbar$ могут пониматься разные вещи. Про Янга-Миллса говорить можно очень долго хотя бы потому, что он просто напросто не решён. Экспериментальным фактом является то, что в классическом виде этих полей не существует. Для меня это означает, что подход Ландау-Лифшица, основанный на принципе соответствия, не работает. Неправильно говорить "вот у нас есть классическая теория, а мы напишем функциональный интеграл и скажем, что это квантовая теория". Правильная точка зрения на Фейнмановский подход в КТП заключается в том, что сначала нужно писать функциональный интеграл, а затем уже изучать что такое квазиклассическое приближение.



-- 07.03.2016, 12:16 --

type2b в сообщении #1104755 писал(а):

Не такая уж и плохо определенная. Оказывается, можно для функциональных интегралов исследовать зависимость от контура интегрирования, явления Стокса и т.п. См., например, http://arxiv.org/abs/1001.2933 .

Речь идёт о теории, которая считает топологические инварианты. В ней функциональный интеграл хорошо определён хотя бы потому, что не расходится. В Янге-Миллсе функциональный интеграл - расходящаяся штуковина.

[Blancke_K]

Blancke_K в сообщении #1104805 писал(а):

Ну а вообще, что мешает построить в неявном виде решение вот таких уравнений?

$D\ast F^{+}=0; D\ast F^{-}=0; 8\pi^{2}k=||F^{+}||-||F^{-}||$

Да в принципе можно и в явном.

$F^{a+}_{\mu\nu}=n\frac{\eta^{a}_{\mu\nu}\rho^{2}}{(x^{2}+\rho^{2})^{2}}$ (1)

$F^{a-}_{\mu\nu}=m\frac{\overline{\eta}^{a}_{\mu\nu}\rho^{2}}{(x^{2}+\rho^{2})^{2}}$ (2),

где $n,m\in \mathbb{Z}$. Вводя загадочное обозначение $F^{\pm}_{BPST}$, запишем 2-форму кривизны:

$F=n F^{+}_{BPST}+m F^{-}_{BPST}$ (3)

Ясно, что $F$ удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса и $c_{2}=n-m$, однако инстантоном очевидно не является, а значит согласно моей постановке задачи на условный экстремум и не живёт в пространстве абсолютных минимумов функционала $S$. В пространстве Минковского это тоже будет какое-то классическое решение. Ясно, что решений типа (3) счётное множество. Поэтому классических решений в пр-во Минковского, не являющихся инстантонами в Евклиде, очень и очень много.