Мастер-класс: виртуальные частицы

[Munin]

Давайте не отвлекаться на Computer Science.

rockclimber
Волновое уравнение - с ним помощь нужна?

-- 05.03.2016 20:12:58 --

Жаль, что Mikhail_K заявился, и исчез.

[rockclimber]

Munin в сообщении #1104447 писал(а):

rockclimber
Волновое уравнение - с ним помощь нужна?

Не знаю, как ответить на ваш вопрос. С одной стороны, я еще ничего не пробовал, поэтому сказать, что ничего не получается, не могу. С другой - мне не надо пробовать, чтобы понять, что прямо сейчас у меня ничего не получится. Матанализ попроще (интегрирование/дифференцирование, простые дифференциальные уравнения) я могу вспомнить достаточно быстро, пару вечеров посидеть - управлюсь. По крайней мере, я на это надеюсь, что управлюсь. Уравнение типа приведенного вами - это уже чуть сложнее, но я хотя бы знаю, где найти ответ (не решая и не вникая в решение). Вникнуть - это уже сложнее, я не готов сейчас сказать, сколько времени это займет. Ну и вообще, довольно резкий старт получается: "Задание 1. Возьмите молоток и забейте гвоздь. Задание 2. Выберите в лесу деревья, постройте из них дом."
Поймите меня правильно. Я не то, чтобы отказываюсь, просто... как-то надо решить этот вопрос. Насколько для начала можно срезать путь? Или может я просто слишком боюсь, а на самом деле это все не так уж трудно?

[Osmiy]

Можно нубский вопрос?
Ответить на него можно, например, когда дойдёте до итоговой части, необязательно сразу.

Munin в сообщении #1104287 писал(а):

Конечный итог:
Виртуальные частицы есть частицы, лежащие не на массовой поверхности в импульсном пространстве; "реальные" частицы - на массовой поверхности. Виртуальные частицы имеют "право на жизнь" только как промежуточные линии диаграмм - они должны быть созданы и поглощены в квантовом процессе. Только в этом случае волновое уравнение позволяет такие решения (решения с источниками). Рассуждения с виртуальными частицами не заменяют, а дополняют рассуждения о поле: если виртуальные и реальные частицы перевести в координатное пространство, получатся поля, аналогичные решениям классических полевых (волновых) уравнений: статическим полям и бегущим волнам.

Вот, например, летели на встречу друг другу 2 электрона в течении 1 секунды. Сколько штук виртуальных фотонов участвовало во взаимодействии?

[Munin]

rockclimber в сообщении #1104483 писал(а):

Ну и вообще, довольно резкий старт получается: "Задание 1. Возьмите молоток и забейте гвоздь. Задание 2. Выберите в лесу деревья, постройте из них дом."
Поймите меня правильно. Я не то, чтобы отказываюсь, просто... как-то надо решить этот вопрос. Насколько для начала можно срезать путь? Или может я просто слишком боюсь, а на самом деле это все не так уж трудно?

И срезать путь можно и нужно. Я замутил всё это, не чтобы изложить КТП. (Некоторые меня тут неправильно поняли.) Я замутил всё это, чтобы оградить читателей популярной литературы от некоторых наиболее наивных ошибок в рассуждениях.

Поэтому, я предлагаю не "построить дом", а что-то типа, скорее, "сложить из спичек макет дома".

И слишком бояться - тоже не надо.

Давайте так.
(1) Возьмём решение $\varphi=\varphi_0\,e^{-i(\omega t-kx)}+C.$ Проверьте подстановкой, что оно удовлетворяет волновому уравнению с $\rho=0.$ Найдите ограничения на константы $\varphi_0,\omega,k,C.$
Возьмём решение $\varphi=f(\omega t-kx).$ Тоже подставьте: удовлетворяет или не удовлетворяет?
Возьмём решение $\varphi=c_1 f(t,x)+c_2 g(t,x),$ где $f(t,x),g(t,x)$ - какие-то валидные решения. Удовлетворяет?
(2) Возьмём решение $\varphi=\varphi_0\,\cos(\omega t)\cos(kx).$ Удовлетворяет? Можно ли это решение представить как-то в виде предыдущих (особенно (1))?
Можно ли первое решение (1) (при $C=0$) как-то представить через предыдущее (2)?

Возьмём решение $\varphi=F_1(x)=-|x|.$ Проверьте подстановкой, что оно удовлетворяет волновому уравнению в 2 измерениях с $\rho=\delta(x).$
Возьмём решение $\varphi=F_3(x,y,z)=-1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$ Проверьте подстановкой, что оно удовлетворяет волновому уравнению в 4 измерениях с $\rho=\delta(x)\,\delta(y)\,\delta(z).$
Возьмём решение $\varphi=c\,f(t,x)+F(t,x),$ где $f(t,x)$ - валидное решение для $\rho=0,$ а $F(t,x)$ - валидное решение для некоторой $\rho=\rho_0\ne 0.$ Проверьте, что это решение также удовлетворяет уравнению для той же $\rho=\rho_0.$ Проверьте, что других решений у волнового уравнения с этой правой частью нет.

Ну, пока как-то так.

[Pphantom]

Обсуждение вопросов о молчащих учебниках и т.п. уехало в «Вопрос об h в корзине»

[Munin]

Osmiy в сообщении #1104492 писал(а):

Вот, например, летели на встречу друг другу 2 электрона в течении 1 секунды. Сколько штук виртуальных фотонов участвовало во взаимодействии?

Тут надо представить себе "жизнь" этих электронов от $t=-\infty$ до $+\infty.$ За всё это время - можно рассчитать их взаимодействие. А вот за конкретный промежуток времени в 1 секунду - нет.

Для начала попробуем привыкнуть к такой точке зрения. Хорошо?

[KVV]

Munin в сообщении #1104834 писал(а):

В теме «Мастер-класс: виртуальные частицы» , пожалуйста. Я что, зря её заводил?

Пардон. Я ее уже потом заметил.

Munin в сообщении #1104834 писал(а):

Тут "есть нюанс": сама по себе КТП существует только там же, где применима теория возмущений. Там, где она неприменима, - там и КТП не построена. И вообще, понятие КТП примерно равно по ширине понятию "теория возмущений": есть некоторая часть непертурбативных расчётов, но проводят их очень осторожно, и об их точном математическом смысле разговор лучше не заводить.

Тем не менее эти непертурбативные подходы существуют, их пытаются развивать, и они по всей видимости просто неизбежно необходимы в некоторых случаях. На этом "примерно равно" я и сделал акцент.

А если эти подходы будут развиваться успешно, то "примерно равно" превратится в "совсем не равно".

[Munin]

Идея "мастер-класса" не сработала. Так что "мастер-класс" закрывается.

[rockclimber]

Munin в сообщении #1105432 писал(а):

Идея "мастер-класса" не сработала. Так что "мастер-класс" закрывается.

Ну вот... Только я собрался второе задание выполнять
У меня на неделе мало времени, сегодня читал учебник матанализа, завтра собирался написать ответы...

[arbuz]

Munin в [url=/post1105432.html#p1105432]сообщении #1105432[/url] писал(а):

Идея "мастер-класса" не сработала. Так что "мастер-класс" закрывается.

Как это закрывается?

Ладно, один вопрос и закрывайте...

Чему равен заряд виртуального $W^-$ бозона? Если заряду электрона, то все ОК. Заряд сохраняется.
А чему равна масса? Если 80 ГэВ/cc, то что с сохранением?

[Munin]

rockclimber в сообщении #1105439 писал(а):

Ну вот... Только я собрался второе задание выполнять :-(

Можете, но уже "в режиме индивидуальных занятий" :-) Можно в ЛС.

arbuz в сообщении #1105448 писал(а):

Ладно, один вопрос и закрывайте... :D

Во-первых, "мастер-класс" - не тема для ответов на любые вопросы. И уж точно не от вас - целевая аудитория была явно обозначена.

Во-вторых, вы задали 2 вопроса, а не один.

arbuz в сообщении #1105448 писал(а):

Чему равен заряд виртуального $W^-$ бозона? Если заряду электрона, то все ОК. Заряд сохраняется.
А чему равна масса? Если 80 ГэВ/cc, то что с сохранением?

Заряд равен $-e,$ масса - $m_W$ (примерно сколько вы написали, хотя так никто не пишет), а вот "сохранения массы" никакого в природе нет.

У виртуальной частицы нарушается соотношение между массой, энергией и импульсом $E^2=p^2+m^2,$ чему этот "мастер-класс" и был частично посвящён - но увы, до этих материй дело просто не дошло.

-- 10.03.2016 00:38:57 --

P. S. Чтобы рисовать диаграммы, есть программа JaxoDraw.

[vvb]

Munin в сообщении #1105432 писал(а):

Идея "мастер-класса" не сработала. Так что "мастер-класс" закрывается.

Как это закрывается? Я требую продолжения банкета мастер-класса! )))

[rockclimber]

Munin в сообщении #1104597 писал(а):

Давайте так.
(1) Возьмём решение $\varphi=\varphi_0\,e^{-i(\omega t-kx)}+C.$ Проверьте подстановкой, что оно удовлетворяет волновому уравнению с $\rho=0.$ Найдите ограничения на константы $\varphi_0,\omega,k,C.$

Давайте попробуем. Я полистал немного учебник матанализа, и у меня сложилось впечатление, что все необходимое для выполнения этого задания я и так помню, но полученные результаты заставили сомневаться в том, что я понимаю, что делаю. Как-то так получается.
Уравнение:

$\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}= 0$

Подставляем решение:

$\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = -i \omega \varphi_0 \,e^{-i(\omega t-kx)}$

$\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = - \omega^2 \varphi_0 \,e^{-i(\omega t-kx)}$

$\dfrac{\partial\varphi}{\partial x} = i k \varphi_0 \,e^{-i(\omega t-kx)}$

$\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} = - k^2 \varphi_0 \,e^{-i(\omega t-kx)}$

$\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} = - \omega^2 \varphi_0 \,e^{-i(\omega t-kx)} - ( - k^2 \varphi_0 \,e^{-i(\omega t-kx)}) = \varphi_0 (k^2 - \omega^2) \,e^{-i(\omega t-kx)} $

Получается, решение $\varphi=\varphi_0\,e^{-i(\omega t-kx)}+C$ подходит, если $\varphi_0 = 0$ или $k^2 - \omega^2 = 0$, константа $C$ ни на что не влияет.

Или решение не подходит вообще? В учебнике есть примеры дифференциальных уравнений попроще, и там обычно, если подставляешь решение в исходное уравнение, получается что-то типа $ 0 = 0$ или $1 = 1$, то есть все сокращается.

В общем, если не совсем полный бред написал, можно продолжить со следующими пунктами.

[Munin]

rockclimber в сообщении #1105637 писал(а):

Получается, решение $\varphi=\varphi_0\,e^{-i(\omega t-kx)}+C$ подходит, если $\varphi_0 = 0$ или $k^2 - \omega^2 = 0$, константа $C$ ни на что не влияет.

Ответ правильный.

Полученное вами соотношение $k^2-\omega^2=0$ называется законом дисперсии.

Если интерпретировать волновое уравнение как квантовое (для волн Де Бройля), то это соотношение также называется соотношением массовой поверхности. Потому что в квантовом мире, частота колебаний волновой функции показывает энергию состояния частицы $E=\hbar\omega,$ а пространственная длина волны показывает величину механического импульса частицы $p=\hbar k.$ (Часто пользуются системой единиц $\hbar=1,$ в которых эти величины просто отождествляются.) И тогда это соотношение начинает выглядеть как

$$E^2=p^2$$

- соотношение энергии и импульса для безмассовой частицы (типа фотона). А если бы частица была массивна, то соотношение бы выглядело как

$$E^2=p^2+m^2.$$

Отсюда и название "массовая". А "поверхность" - потому что эти соотношения задают поверхность в пространстве всех возможных энергий и импульсов. В одном случае конус, в другом - гиперболоид. По-английски - mass shell - это я не берусь объяснить. Иногда переводят как "массовая оболочка".

И про свободную частицу говорят, что она "сидит" или "лежит" на массовой поверхности, потому что она описывается волной, для которой выполняется это соотношение. Но последующие упражнения нацелены были продемонстрировать, что в принципе волновое уравнение допускает и другие волны.

rockclimber в сообщении #1105637 писал(а):

Или решение не подходит вообще? В учебнике есть примеры дифференциальных уравнений попроще, и там обычно, если подставляешь решение в исходное уравнение, получается что-то типа $ 0 = 0$ или $1 = 1$, то есть все сокращается.

А вы давайте - подставьте это решение в исходное уравнение, только с учётом найденного вами соотношения $k^2-\omega^2=0.$

rockclimber в сообщении #1105637 писал(а):

В общем, если не совсем полный бред написал, можно продолжить со следующими пунктами.

Продолжаем.

[rockclimber]

Munin в сообщении #1105668 писал(а):

А "поверхность" - потому что эти соотношения задают поверхность в пространстве всех возможных энергий и импульсов. В одном случае конус, в другом - гиперболоид.

А что является измерениями в этом пространстве? $E$, $p$, $m$? И есть ли какая-нибудь визуализация этого? Мне так проще в уме представлять.

Munin в сообщении #1105668 писал(а):

rockclimber в сообщении #1105637 писал(а):

Или решение не подходит вообще? В учебнике есть примеры дифференциальных уравнений попроще, и там обычно, если подставляешь решение в исходное уравнение, получается что-то типа $ 0 = 0$ или $1 = 1$, то есть все сокращается.

А вы давайте - подставьте это решение в исходное уравнение, только с учётом найденного вами соотношения $k^2-\omega^2=0.$

Не очень понял, это так? Выразить $k$ через $\omega$ (или наоборот) и подставить в $\varphi=\varphi_0\,e^{-i(\omega t-kx)}+C$?

Munin в сообщении #1105668 писал(а):

Продолжаем.

Munin в сообщении #1104597 писал(а):

Возьмём решение $\varphi=f(\omega t-kx).$

Тут я не понял: $f(\omega t-kx)$ - это просто какая-то (то есть потенциально любая) функция от $(\omega t-kx)$? Если да, то:

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial t^2} = \omega^2 \dfrac {\partial^2 f(\omega t - k x)} {\partial t^2}$ (не помню, так можно записывать или нет?)

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = k^2 \dfrac {\partial^2 f(\omega t - k x)} {\partial x^2}$

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial t^2} - \dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = \omega^2 \dfrac {\partial^2 f(\omega t - k x)} {\partial t^2} - k^2 \dfrac {\partial^2 f(\omega t - k x)} {\partial x^2} $

Это решение подходит, насколько я могу судить, только если $f$ - линейная функция от $(\omega t-kx)$. Но тогда, наверно, некорректно писать $\omega^2$ и $k^2$, потому что квадратов там не будет? Если $f$ - это синус, косинус или экспонента, то решение получается аналогичное предыдущему случаю (то есть подходит при условии $k^2 - \omega^2 = 0$). В общем виде - не подходит.

Munin в сообщении #1104597 писал(а):

Возьмём решение $\varphi=c_1 f(t,x)+c_2 g(t,x),$ где $f(t,x),g(t,x)$ - какие-то валидные решения.

$\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = c_1 \dfrac {\partial^2 f} {\partial t^2} + c_2 \dfrac {\partial^2 g} {\partial t^2} - c_1 \dfrac {\partial^2 f} {\partial x^2} - c_2 \dfrac {\partial^2 g} {\partial x^2} = $

$= c_ 1 (\dfrac {\partial^2 f} {\partial t^2} - \dfrac {\partial^2 f} {\partial x^2}) + c_2 (\dfrac {\partial^2 g} {\partial t^2} - \dfrac {\partial^2 g} {\partial x^2})$

Так как $f(t,x)$ и $g(t,x)$ - валидные решения, то каждая из скобок равна нулю, то есть такая комбинация валидных решений сама является валидным решением.

Munin в сообщении #1104597 писал(а):

Возьмём решение $\varphi=\varphi_0\,\cos(\omega t)\cos(kx).$

$\dfrac {\partial \varphi} {\partial t} = -\varphi_0\,\omega\,\sin(\omega t) \cos(kx)$

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial t^2} = -\varphi_0\,\omega^2\, \cos(\omega t) \cos(kx)$

$\dfrac {\partial \varphi} {\partial x} = -\varphi_0\,k\,\cos(\omega t) \sin(kx)$

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = -\varphi_0\,k^2\, \cos(\omega t) \cos(kx)$

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial t^2} - \dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = -\varphi_0\,\omega^2\, \cos(\omega t) \cos(kx) + \varphi_0\,k^2\, \cos(\omega t) \cos(kx)$

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial t^2} - \dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = \varphi_0\,(k^2 - \omega^2)\, \cos(\omega t) \cos(kx)$

Здесь то же самое: появляется тот же множитель $(k^2 - \omega^2).$


Я хотел ответить на все вопросы, а потом уже публиковать ответ, но так что-то долго получается. Пока написал это, завтра закончу, а заодно вопрос:

Munin в сообщении #1104597 писал(а):

Проверьте подстановкой, что оно удовлетворяет волновому уравнению в 2 измерениях с $\rho=\delta(x).$

Что такое $\delta(x)$? Просто какая-то функция или функция с какими-то особыми свойствами?

-- 14.03.2016, 01:45 --

И еще один вопрос вдогонку. Само уравнение $\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=\rho$ откуда берется? Но если этот вопрос слишком объемный или уводит в сторону, можно на потом отложить.