Производная кубического корня из куба в точке ноль

[Matio]

Добрый день!
Возник такой, наверное глупый, вопрос, с которым хочу всё-таки разобраться.
Дифференцируема ли функция $ y=\sqrt[3]{x^3} $ в точке 0?
С одной стороны, она вроде бы совпадает со всюду дифференцируемой функцией y=х.
С другой стороны, её производная, найденная непосредственно,
есть $ \frac{x^2} {\sqrt[3]{x^6}}$ и она не определена в нуле.
Как же обстоит дело?
Заранее благодарен за ответы.

[ewert]

Matio в сообщении #1104391 писал(а):

С другой стороны, её производная, найденная непосредственно,
есть $ \frac{x^2} {\sqrt[3]{x^6}}$ и она не определена в нуле.

Если Вы получили для производной какую-то формулу, не определённую в нуле, то это ещё вовсе не означает, что не определена в нуле сама производная.

[Matio]

Спасибо! Правильно ли я понимаю, что тогда это означает, что данная формула для производной композиции функций в нуле не работает, то есть в нуле дифференцируемость надо определять отдельно? В чём причина этого? Почему и в каких случаях так происходит?

[Xaositect]

Matio в сообщении #1104395 писал(а):

В чём причина этого? Почему и в каких случаях так происходит?

Потому что в условиях формулы дифференцирования сложной функции требуется, чтобы и внешняя, и внутренняя функции были дифференцируемы в соответствующих точках. А $\sqrt[3]{x}$ не является дифференцируемой в нуле.

[Matio]

Xaositect в сообщении #1104397 писал(а):

А $\sqrt[3]{x}$ не является дифференцируемой в нуле.

Да, этот факт сам по себе понятен. То есть получается, дело в том, что просто не выполняется "привычное" достаточное условие - и внешняя и внутренняя функции дифференцируемы - но при этом сама композиция вполне может быть дифференцируема, что здесь и происходит?

[Xaositect]

Да.

[Matio]

Понял. Спасибо за разъяснения. Значит, $y=\sqrt[3]{x^3} $ и $y=x$ - это одна и та же функция $ f(x) $, которая дифференцируема на всей действительной оси?
А что насчёт функции $y=\((x^3)}^{1/3} $ ? Я правильно понимаю, что она не определена для отрицательных x и совпадает с функцией f(x) для неотрицательных x. Тогда в нуле она ведь дифференцируема только справа?
У меня всё равно вызывает трудности понимание того, что выражения $\sqrt[3]{x^3} $ , $x$ и $\((x^3)}^{1/3} $ - вроде бы почти одно и тоже, но и не совсем...
Ведь $\sqrt[3]{-8}=-2$, а $\((-8)}^{1/3} $ не определено? Так?

[Xaositect]

Да, все верно.

[Утундрий]

Matio в сообщении #1104408 писал(а):

Ведь $\sqrt[3]{-8}=-2$

И всё?

[ewert]

Matio в сообщении #1104408 писал(а):

Тогда в нуле она ведь дифференцируема только справа?

Нет. Потому что

Matio в сообщении #1104408 писал(а):

а $(-8)^{1/3} $ не определено? Так?

-- это только в школе так, из сугубо педагогичных соображений. После же школы все немедленно отбрасывают этот бессмысленный пуризм и считают, что это одно и то же.

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1104415 писал(а):

И всё?

Да, это всё. А почему всё и какой контекст -- угадайте сами.

[Matio]

ewert в сообщении #1104417 писал(а):

-- это только в школе так, из сугубо педагогичных соображений.

Да, известно, что всегда существует n корней n-й степени из комплексного числа. Получается, здесь для приобретения общего понимания ситуации необходим только выход в С?
А во множестве действительных чисел всё выглядит не очень ясно...
Знаю обычное объяснение, что рациональные степени отрицательных чисел не определяются, так как получаются противоречия вроде ${(-8)}^{1/3}=-2$ и одновременно ${(-8)}^{1/3}={(-8)}^{2/6}=2$. Противоречие. Значит нельзя. Но это всё равно оставляет чувство неудовлетворённости. Как-то хочется понять в чём тут дело, оставаясь в действительных числах...

[Brukvalub]

Matio, получается, что вы все знаете и просто хотите утешений?

[mihailm]

ewert в сообщении #1104417 писал(а):

...-- это только в школе так, из сугубо педагогичных соображений. После же школы все немедленно отбрасывают этот бессмысленный пуризм и считают, что это одно и то же...

Кто-то может и отбрасывает, но многие продолжают придерживаться этого очень удобного соглашения.

[ewert]

Matio в сообщении #1104420 писал(а):

Получается, здесь для приобретения общего понимания ситуации необходим только выход в С?

Нет, не получается. Тут дело вовсе не в выходе в комплексный случай. А попросту в удобстве. Попросту удобнее уговориться о различении чётных и нечётных степеней -- и потом со всем удовольствием и всем колхозом этим уговором пользоваться.

Выход же в комплексную плоскость -- это уже совсем другая тема.

[Matio]

Brukvalub в сообщении #1104435 писал(а):

Matio, получается, что вы все знаете и просто хотите утешений?

Нет, совсем не всё знаю. У меня получаются какие-то противоречия, которые хотелось бы разрешить.
Скажем, запись $(\sqrt [3] {x}) '=(x^{1/3}) '=\frac {1}{3} x^{-2/3} $ выходит
является неверной, так как происходит сужение области определения?
А если результат переписать обратно в виде $\frac {1}{3 \sqrt [3] {x^2}} $, то всё снова хорошо? Как тогда грамотно записывать производные функций подобного типа, ведь их обычно находят именно, представляя корень в виде степени?