сходимость ряда

[semikolenov]

Наткнулся на одну неопределённость, хотелось бы уточнить .
Имеем сходящийся ряд
$1/2+1/4+1/8+…=1$ .
Смущает суммы: $ 1$. С одной стороны, все понимают, что ряд к этому значению сходится, но сумма не равна $1$. Она может бесконечно к нему приближаться, но не может быть ей равной. Вразумительным по логике был бы ответ: равен иррациональной $1$. Но это тоже сложность: $1$ – рациональное число.


Я ничего не отвергаю и не доказываю. Сходимость к «$1$» меня очень даже устраивает. Меня смущает доказательная база. Может она «неполная» ?

Или равенство суммы $= 1$ всего лишь условность ?

[Ms-dos4]

semikolenov
Нормально там всё с "доказательной базой". Вы определение суммы ряда видели?

[semikolenov]

Ms-dos4 в сообщении #1104126 писал(а):

Вы определение суммы ряда видели?

Убрал лишнее в топике, чтобы не усложнять.
Вопрос: сумма будет рациональным числом или иррациональным ? Наверное, это более лаконичный вопрос.

[Ms-dos4]

semikolenov
В данном случае рациональным, конечно. Я вопрос повторю, вы определение суммы ряда видели?

[gris]

В данном случае рациональность или иррациональность совершенно не к чему приткнуть. Существуют ряды из рациональных чисел, которые сходятся к рациональному числу. Существуют ряды из рациональных чисел, которые сходятся к иррациональному числу. Существуют ряды из иррациональных чисел, которые сходятся к рациональному числу. Существуют ряды из иррациональных чисел, которые сходятся к иррациональному числу. И так далее. У нас — первый случай.

[svv]

semikolenov в сообщении #1104122 писал(а):

С одной стороны, все понимают, что ряд к этому значению сходится, но сумма не равна $1$. Она может бесконечно к нему приближаться, но не может быть ей равной.

То, что Вы называете суммой, называется частичными суммами:
$\frac 1 2=\frac 1 2$
$\frac 1 2+\frac 1 4=\frac 3 4$
$\frac 1 2+\frac 1 4+\frac 1 8=\frac 7 8$
...
Частичные суммы образуют последовательность $\frac 1 2, \frac 3 4, \frac 7 8, \frac{15}{16}, ...$
На $n$-м месте стоит число $\frac{2^n-1}{2^n}$, или, что то же самое, $1-2^{-n}$.

Далее задаётся вопрос: существует ли число, к которому последовательность частичных сумм неограниченно приближается? (его может и не быть) Если существует, чему оно равно? Оно-то и называется суммой ряда.

(Если что, понятие «неограниченного приближения» в математике имеет чёткий смысл.)

[semikolenov]

Ms-dos4 в сообщении #1104132 писал(а):

вы определение суммы ряда видели?

Наверное, вы имели в виду следующее:
$s=$\lim\limits_{n\to\infty}^{}s(n)$$ ( не смог подставить $ n$ внизу, думаю понятно )
Да. я согласен $ s=0.9999999999999$.... но это совсем не одно и тоже, что $1$.

-- 04.03.2016, 19:04 --

svv в сообщении #1104140 писал(а):

что то же самое, $1-2^{-n}$.

$$1-2^{-n}$=0.99999999999.... $
Или я где-то ошибся ?

[Ms-dos4]

semikolenov
Ну вот, теперь найдите $\[n\]$-ую частичную сумму, и посмотрите на предел. Это и есть сумма ряда.
В данном случае $\[{S_n} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\]$. Тогда $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}} = 1\]$

[Xaositect]

semikolenov в сообщении #1104143 писал(а):

Да. я согласен $ s=0.9999999999999$.... но это совсем не одно и тоже, что $1$.

$0.(9)$ это совсем одно и то же, что $1$.

Обсуждалось тут кучу раз, см. напр. topic66328-15.html

[semikolenov]

Xaositect в сообщении #1104149 писал(а):

$0.(9)$ это совсем одно и то же, что $1$.

Спасибо, теперь всё стало для меня понятно. Это общепринятая условность. Хоть для меня лично $0.(9)$ не совсем одно и тоже что $1$ ,но дальнейшее рассуждение, думаю неактуально.
Всем спасибо.

[svv]

То, что Вы знакомы с понятием предела — очень хорошо. Тогда: если предел последовательности частичных сумм ряда существует, он называется суммой ряда.

Теперь вопрос сводится к более простому: $\lim\limits_{n\to +\infty}(1-2^{-n})$ равен $0.999...$ или $1$ ?

[semikolenov]

svv в сообщении #1104152 писал(а):

равен $0.999...$ или $1$ ?

Равен 0.(9). Но общепринятым является , что $0.(9)=1$ , получается , что предел равен $1$.
Я тут подумал, может попробовать "двигать " числовую последовательность не в одну сторону $ 1/2+1/4+...$ к единице, но также от двойки теми же шагами к единице( в надежде взаимной компенсировать "тонкие хвосты" ).
$1/2+1/4+... =2-(1/2+1/4+...)$
Итог: $ 0.(9) = 1=1.(0).$
Что в принципе ничего кардинального не меняет в условностях.

(Оффтоп)

Получается, три разные ( условно) точки $0.(9), 1. , 1.(0)$ являются тождественными ( или как то по другому можно назвать - не знаю ).

[svv]

Интересно, а как бы Вы записали предел такой последовательности:
$1-\frac 1 2, 1+\frac 1 4, 1-\frac 1 8, 1+\frac 1{16}, ...$

Короче говоря, $a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$
Здесь Вы должны «разорваться» между $0.(9)$ и $1.(0)$.

[semikolenov]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1104156 писал(а):

Интересно, а как бы Вы записали предел такой последовательности:

$a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$
.
Логичным было бы записать так $a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$$=1.\pm(0)$
Общепринятым является (наверное) $a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$$=1$
( или $a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$$=1.$ )

[gris]

Меня беспокоит, что три разные точки $\dfrac 12,\;\dfrac 36, \;\dfrac 48$ и ещё бесконечное количество сидят в одном месте.