2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 15:01 
Аватара пользователя


17/05/15
117
Новосибирск
Наткнулся на одну неопределённость, хотелось бы уточнить .
Имеем сходящийся ряд
$1/2+1/4+1/8+…=1$ .
Смущает суммы: $ 1$. С одной стороны, все понимают, что ряд к этому значению сходится, но сумма не равна $1$. Она может бесконечно к нему приближаться, но не может быть ей равной. Вразумительным по логике был бы ответ: равен иррациональной $1$. Но это тоже сложность: $1$ – рациональное число.


Я ничего не отвергаю и не доказываю. Сходимость к «$1$» меня очень даже устраивает. Меня смущает доказательная база. Может она «неполная» ?

Или равенство суммы $= 1$ всего лишь условность ?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 15:12 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
semikolenov
Нормально там всё с "доказательной базой". Вы определение суммы ряда видели?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 15:25 
Аватара пользователя


17/05/15
117
Новосибирск
Ms-dos4 в сообщении #1104126 писал(а):
Вы определение суммы ряда видели?

Убрал лишнее в топике, чтобы не усложнять.
Вопрос: сумма будет рациональным числом или иррациональным ? Наверное, это более лаконичный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 15:30 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
semikolenov
В данном случае рациональным, конечно. Я вопрос повторю, вы определение суммы ряда видели?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
В данном случае рациональность или иррациональность совершенно не к чему приткнуть. Существуют ряды из рациональных чисел, которые сходятся к рациональному числу. Существуют ряды из рациональных чисел, которые сходятся к иррациональному числу. Существуют ряды из иррациональных чисел, которые сходятся к рациональному числу. Существуют ряды из иррациональных чисел, которые сходятся к иррациональному числу. И так далее. У нас — первый случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
semikolenov в сообщении #1104122 писал(а):
С одной стороны, все понимают, что ряд к этому значению сходится, но сумма не равна $1$. Она может бесконечно к нему приближаться, но не может быть ей равной.
То, что Вы называете суммой, называется частичными суммами:
$\frac 1 2=\frac 1 2$
$\frac 1 2+\frac 1 4=\frac 3 4$
$\frac 1 2+\frac 1 4+\frac 1 8=\frac 7 8$
...
Частичные суммы образуют последовательность $\frac 1 2, \frac 3 4, \frac 7 8, \frac{15}{16}, ...$
На $n$-м месте стоит число $\frac{2^n-1}{2^n}$, или, что то же самое, $1-2^{-n}$.

Далее задаётся вопрос: существует ли число, к которому последовательность частичных сумм неограниченно приближается? (его может и не быть) Если существует, чему оно равно? Оно-то и называется суммой ряда.

(Если что, понятие «неограниченного приближения» в математике имеет чёткий смысл.)

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 15:58 
Аватара пользователя


17/05/15
117
Новосибирск
Ms-dos4 в сообщении #1104132 писал(а):
вы определение суммы ряда видели?

Наверное, вы имели в виду следующее:
$s=$\lim\limits_{n\to\infty}^{}s(n)$$ ( не смог подставить $ n$ внизу, думаю понятно )
Да. я согласен $ s=0.9999999999999$.... но это совсем не одно и тоже, что $1$.

-- 04.03.2016, 19:04 --

svv в сообщении #1104140 писал(а):
что то же самое, $1-2^{-n}$.

$$1-2^{-n}$=0.99999999999.... $
Или я где-то ошибся ?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 16:06 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
semikolenov
Ну вот, теперь найдите $\[n\]$-ую частичную сумму, и посмотрите на предел. Это и есть сумма ряда.
В данном случае $\[{S_n} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\]$. Тогда $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}} = 1\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
semikolenov в сообщении #1104143 писал(а):
Да. я согласен $ s=0.9999999999999$.... но это совсем не одно и тоже, что $1$.
$0.(9)$ это совсем одно и то же, что $1$.

Обсуждалось тут кучу раз, см. напр. topic66328-15.html

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 16:11 
Аватара пользователя


17/05/15
117
Новосибирск
Xaositect в сообщении #1104149 писал(а):
$0.(9)$ это совсем одно и то же, что $1$.

Спасибо, теперь всё стало для меня понятно. Это общепринятая условность. Хоть для меня лично $0.(9)$ не совсем одно и тоже что $1$ ,но дальнейшее рассуждение, думаю неактуально.
Всем спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
То, что Вы знакомы с понятием предела — очень хорошо. Тогда: если предел последовательности частичных сумм ряда существует, он называется суммой ряда.

Теперь вопрос сводится к более простому: $\lim\limits_{n\to +\infty}(1-2^{-n})$ равен $0.999...$ или $1$ ? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 16:34 
Аватара пользователя


17/05/15
117
Новосибирск
svv в сообщении #1104152 писал(а):
равен $0.999...$ или $1$ ?

Равен 0.(9). Но общепринятым является , что $0.(9)=1$ , получается , что предел равен $1$.
Я тут подумал, может попробовать "двигать " числовую последовательность не в одну сторону $ 1/2+1/4+...$ к единице, но также от двойки теми же шагами к единице( в надежде взаимной компенсировать "тонкие хвосты" ).
$1/2+1/4+... =2-(1/2+1/4+...)$
Итог: $ 0.(9) = 1=1.(0).$
Что в принципе ничего кардинального не меняет в условностях.

(Оффтоп)

Получается, три разные ( условно) точки $0.(9), 1. , 1.(0)$ являются тождественными ( или как то по другому можно назвать - не знаю ).

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Интересно, а как бы Вы записали предел такой последовательности:
$1-\frac 1 2, 1+\frac 1 4, 1-\frac 1 8, 1+\frac 1{16}, ...$

Короче говоря, $a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$
Здесь Вы должны «разорваться» между $0.(9)$ и $1.(0)$. :P

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 17:03 
Аватара пользователя


17/05/15
117
Новосибирск

(Оффтоп)

svv в сообщении #1104156 писал(а):
Интересно, а как бы Вы записали предел такой последовательности:

$a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$
.
Логичным было бы записать так $a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$$=1.\pm(0)$
Общепринятым является (наверное) $a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$$=1$
( или $a_n=1+\left(-\frac 1 2\right)^{n}$$=1.$ )

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда
Сообщение04.03.2016, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Меня беспокоит, что три разные точки $\dfrac 12,\;\dfrac 36, \;\dfrac 48$ и ещё бесконечное количество сидят в одном месте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: sergey zhukov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group