Применимость понятий "теорема", "гипотеза" и т.д.

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #1104059 писал(а):

равномерная сходимость сохраняет "хорошие" свойства и не сохраняет "плохих". Имеются в виду следующие теоремы: если последовательность функций равномерно сходится к функции и все функции непрерывны/дифференцируемы/финитны/etc., то и предельная функция непрерывна/дифференцируема/финитна/etc.

Разве дифференцируемость сохраняется?

Ну вот примеры:
Особенности распространяются вдоль бихарактеристик.

Число собственных значений ниже уровня энергии $E$ примерно равно

$$ (2\pi h)^{-d}\iint _{\{H(x,p)<E\}} dx dp $$

[Anton_Peplov]

Red_Herring в сообщении #1104067 писал(а):

Разве дифференцируемость сохраняется?

Был уверен, что да. Однако сейчас перелистал учебник и не нашел такой теоремы. С другой стороны, и контрпримера в Гелбауме не нашел.

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #1104104 писал(а):

С другой стороны, и контрпримера в Гелбауме не нашел.

Сами постройте. Заметим, что $C^k$ плотно в $C^l$ для любых $0\le l <k\le \infty$.

[Anton_Peplov]

Спасибо, возьму на заметку.
Правда, мне построить вряд ли будет легко. У меня та самая ошибка в генах, которая делает человека неприлично тупым во всех вопросах, связанных с эпсилонами и дельтами.

[Red_Herring]

Рассмотрите $ \frac{1}{n^\alpha}\sin (nx)$. При этом сходится в $C^k$, т. и т.т.к. $k<\alpha$, и $k$ необязательно целое.

[Anton_Peplov]

Спасибо!