Применимость понятий "теорема", "гипотеза" и т.д.

[Munin]

dima90 в сообщении #1093088 писал(а):

Осознать построение наук, не относящихся к тем, в которых основа— аксиомы и теоремы.

Назовите примеры таких наук. А потом уже занимайтесь "осознанием построения".

-- 22.01.2016 11:37:23 --

dima90 в сообщении #1093128 писал(а):

У меня небольшая путаница с аксиомами и определениями

Вот с этого и надо начинать. С вашей проблемы. А не с каких-то левых вопросов, которые к вашей проблеме относятся чуть меньше, чем никак.

[dima90]

Munin в сообщении #1093134 писал(а):

Назовите примеры таких наук.

Это часть моего вопроса.

Munin в сообщении #1093134 писал(а):

Вот с этого и надо начинать. С вашей проблемы.

Эта проблема (хотя я это проблемой не считаю) относится к формализации изложения курса мат.анализа, но не к моему левому вопросу.


Я был бы рад, если бы вы ответили на такой вопрос:

dima90 в сообщении #1093057 писал(а):

Все ли физические законы записываются на языке математики?

[Munin]

dima90 в сообщении #1093139 писал(а):

Это часть моего вопроса.

Ну нет. Вы первым заявляете, что такие науки вообще существуют. Вот и докажите примерами.

-- 22.01.2016 11:57:24 --

dima90 в сообщении #1093139 писал(а):

Я был бы рад, если бы вы ответили на такой вопрос:

dima90 в сообщении #1093057 писал(а):

Все ли физические законы записываются на языке математики?

Да. Нет. Подставьте свой вариант ответа.

[dima90]

Anton_Peplov в сообщении #1093027 писал(а):

dima90 в сообщении #1093026 писал(а):

Я же говорю об этих словах в их, если можно так выразиться, первичном смысле, -- математическом.

А такого за пределами точных наук нет.

Я такого не заявлял -- это мнение некоторых участников форума. Если таких наук нет -- то и вопрос отпадает.

Munin в сообщении #1093142 писал(а):

Да. Нет. Подставьте свой вариант ответа.

Я на этот вопрос ответить затрудняюсь. Контрпримеров и у меня нет.

[Munin]

Контрпримеров можно навалить тысячу. И оспорить каждый. При такой невнятной формулировке внятного ответа существовать не может.

[whitefox]

dima90 в сообщении #1093026 писал(а):

В физике аксиомы и теоремы имеют, похоже, тот же смысл, что и в математике.
Что можно сказать по поводу других естественных наук? Есть ли эти два понятия, скажем, в биологии?

Что касательно биологии, то аксиомы в ней точно есть.

[dima90]

Munin в сообщении #1093147 писал(а):

При такой невнятной формулировке внятного ответа существовать не может.

Математический язык -- невнятное понятие?

Munin в сообщении #1093147 писал(а):

Контрпримеров можно навалить тысячу.

Мне одного хватит.

-- 22.01.2016, 12:22 --

whitefox

Интересная ссылка . Спасибо.

[Munin]

dima90 в сообщении #1093149 писал(а):

Математический язык -- невнятное понятие?

А вы сформулируйте это внятно. И заодно, "физические законы", "записываются" и "все".

[dima90]

Все ли физические законы записываются на языке математики?=Все ли физические законы, принимаемые за истинные научным сообществом (его большинством) в данный момент, могут быть сформулированы с помощью кванторов, предикатов, бинарных соотношений, чисел, стандартных (из классического анализа) мат. символов и операций, а также определений данной теории?

Считаете, термин 'физический закон' неоднозначен? Я его использую в самом обычном смысле.

[Anton_Peplov]

dima90 в сообщении #1093128 писал(а):

Хотелось бы узнать, что, по-вашему, такое стандартный?

Ильин-Позняк. Или Фихтенгольц. Или Зорич. Разница между ними есть, но в данном случае она не существенна.

dima90 в сообщении #1093128 писал(а):

Есть те, в которых кроме аксиом ЛП ничего не понадобится.

Дааа? И даже понятия "больше-меньше" там не используются?

-- 22.01.2016, 13:49 --

whitefox в сообщении #1093148 писал(а):

Что касательно биологии, то аксиомы
в ней точно есть.

Есть попытки предложить аксиомы биологии. Они предпринимаются не в первый раз (см. главу про теоретическую биологию в книге С. Э. Шноля "Герои, злодеи, конформисты отечественной науки"), но пока консенсуса специалистов, что именно эти утверждения должны быть аксиомами биологии, точно нет. Как нет, видимо, и содержательных теорем, из этих аксиом выведенных.

[dima90]

Anton_Peplov в сообщении #1093179 писал(а):

Ильин-Позняк. Или Фихтенгольц. Или Зорич. Разница между ними есть, но в данном случае она не существенна.

Если под 'данным случаем' подразумевать аксиоматику каждого из курсов, то между последним и первыми двумя, вы считаете, разница несущественна?

Anton_Peplov в сообщении #1093179 писал(а):

Дааа? И даже понятия "больше-меньше" там не используются?

Не подумал, признаю ошибку.

[Anton_Peplov]

dima90 в сообщении #1093183 писал(а):

Если под 'данным случаем' подразумевать аксиоматику каждого из курсов, то между последним и первыми двумя, вы считаете, разница несущественна?

Считаю, что несущественна. И аксиомы топологии ни при чем.
Хотя, быть может, здесь я и ошибаюсь.

-- 22.01.2016, 15:22 --

Red_Herring в сообщении #1093035 писал(а):

Я предпочитаю употреблять эти термины для намеренно широко и нечётко сформулированных утверждений, которые при правильной интерпретации станут теоремами (которые можно доказать), но подобных правильных интерпретаций м.б. много

Придумался еще красивый пример "принципа" или "метода": факторизация и введение операций над элементами фактор-множества. Т.е. есть множество $A$ с заданной на нем операцией (не важно, унарной, бинарной или требующей привлечения другого множества, как, например, умножение вектора на скаляр). Разбиваем это множество на классы эквивалентности. Доказываем, что класс эквивалентности результата операции зависит только от классов эквивалентности операндов. Определяем результат операции над классами как класс результата операции над их представителями. Красота!
Помнится, когда впервые увидел (это была факторизация линейного пространства), думал - ну ничего себе, как это в голову пришло. Потом, когда понял, что пространство $L^2$ строится ровно таким же образом, подумал - до чего изящно. А уж поле классов вычетов меня просто покорило. Раскинулось поле по модулю пять...

-- 22.01.2016, 15:32 --

А вот еще один "метод": сопоставление изучаемому объекту числовой последовательности. Триумфом этого метода стало доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры.

[Munin]

dima90
Вы считаете, что вы чего-то уточнили?

[dima90]

Anton_Peplov в сообщении #1093196 писал(а):

Определяем результат операции над классами как класс результата операции над их представителями. Красота!

Да, метод красив.

Munin

Да; но, по ответу понимаю, что формулировка всё еще невнятная.

[Anton_Peplov]

Red_Herring в сообщении #1093035 писал(а):

Я предпочитаю употреблять эти термины ["принцип", "закон"] для намеренно широко и нечётко сформулированных утверждений, которые при правильной интерпретации станут теоремами (которые можно доказать), но подобных правильных интерпретаций м.б. много.

Red_Herring в сообщении #1093097 писал(а):

Ну например: интеграл суммы равен сумме интегралов.
Здесь не сказано о каком интеграле идёт речь, и о какой сумме—конечной или бесконечной (ряде), и если о ряде, то в каком смысле понимается сумма. В такой общности это утверждение неверно, но можно найти много разных теорем, в которых конкретизируются понятия интеграла и сходимости, и которые строго доказываются

Меня заинтересовала тема таких неформальных "принципов", обобщающих строго сформулированные теоремы. Предлагаю еще один: равномерная сходимость сохраняет "хорошие" свойства и не сохраняет "плохих". Имеются в виду следующие теоремы: если последовательность функций $\{f_n(x)\}$ равномерно сходится к функции $f(x)$ и все функции $f_n(x)$ непрерывны/дифференцируемы/финитны/etc., то и функция $f(x)$ непрерывна/дифференцируема/финитна/etc. Это сохранение "хороших" свойств. В то же время "плохие" свойства (отрицания хороших) не сохраняются: последовательность разрывных/недифференцируемых/нефинитных/etc. функций может равномерно сходиться к непрерывной/дифференцируемой/финитной/etc. функции.
Интересно, что ограниченность функции из этого принципа выпадает: равномерная сходимость сохраняет как ограниченность, так и неограниченность.

Было бы интересно собрать еще какие-нибудь примеры "принципов".