Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень

[Skipper]

Комплексные числа были изобретены по причине того, что нельзя возвести отрицательное вещественное число в любую вещественную степень.
И только с комплексными числами можно делать любые математические операции.
Скажем, число $-2$ нельзя возвести в степень $1/2$, это извлечение квадратного корня, и он из отрицательных чисел не извлекается, как вещественное число,
т.е. извлекается, но дает в итоге комлексное число.
То же число $-2$, можно возвести в степень $1/3$, т.к. кубический корень из отрицательных вещественных чисел дает именно вещественное число.
Я попробовал возвести в степени с помощью вещественного калькулятора Windows 7, и действительно

$-2$ в степень $0.5$ - результат - Invalid input. (значит результат комплексное число)
$-2$ в степень $0.3333$... - (т.е. степень $1/3$) результат: $-1.25992$...

А как же дело обстоит с другими степенями?? Могут же быть произвольные вещественные степени, скажем $0.56$. Я и попробовал:

$-2$ в степень $0.56$ результат: $1.4742$...
$-2$ в степень $0.54$ результат: Invalid input. (значит результат комплексное число).
$-2$ в степень $0.52$ результат: $-1.4339$...

Т.е. при возведении вещественного отрицательного числа в произвольную вещественную степень, оказывается,
могут быть получены как комплексные числа, так и вещественные, причем и положительные и отрицательные!

И какая же общая формула для этого используется? Формула с экпонентой явно не подходит, т.е. она не для
общего случая, и если ее использовать в таких случаях, то вообще никакие отрицательные вещественные числа
не могут быть возведены в дробную степень, т.к. логарифм от отрицательного числа не существует.

И какие границы степеней, разделяют результаты, когда в итоге получается вещественное число, и комплексное число?

Может быть, переопределив эту формулу для возведения в степень так, чтобы в итоге всегда было вещественное
число, мы получим поле вещественных чисел, такое, над которым можно проводить любые математические операции,
и нам вообще не понадобятся эти комплексные числа, которые всё усложняют?
Тогда многие доказательства, которые используют комплексные числа, сильно упростились бы, а возможно, были бы
получены новые доказательства каких то теорем, гипотез, которые пока не доказаны, из-за более сложного анализа
над полем комплексных чисел.
Скажем, для решения гипотезы, нужно решить какое нибудь дифференциальное уравнение с комплексными переменными, и тут
нельзя найти решение. А если свести его к дифференциальному уравнению с вещественными числами, то решение
будет найдено. (т.к. дифференциальное уравнение станет проще для анализа)

Можно ли переопределить так математические операции возведения в степень, и создать более продвинуную теорию
вещественных чисел. (другое поле вещественных чисел, укладывающееся на прямой, а не на плоскости).

[Pphantom]

Skipper в сообщении #1103329 писал(а):

Я попробовал возвести в степени с помощью вещественного калькулятора Windows 7, и

... и дальше можно не читать. Построение теории калькулятора Windows 7, возможно, достаточно занимательно, но особого отношения к математике не имеет.

[Aritaborian]

Skipper в сообщении #1103329 писал(а):

Может быть, переопределив эту формулу для возведения в степень так, чтобы в итоге всегда было вещественное число, мы получим поле вещественных чисел, такое, над которым можно проводить любые математические операции, и нам вообще не понадобятся эти комплексные числа, которые всё усложняют?

Ну так попробуйте это сделать и доложите о результате.

[Skipper]

Цитата:

Если мы хотим ввести операцию возведения отрицательного числа хотя бы в рациональную степень, естественно ожидать от нее некоторого привычного поведения.

Например.

С одной стороны, $(-1)^3$ $= (-1) (-1) (-1) = -1$

С другой, воспользуемся формулой $a^{(xy)} = (a^x)^y$:

$(-1)^3 = (-1)^{2 \cdot 1.5} = ((-1) ^ 2) ^ {1.5} = 1 ^ {1.5} = 1$

Таким образом, даже не допуская в вычислениях непосредственного возведения отрицательных чисел в дробную степень, получаем противоречие.

Дайте, кто может, точную формулу, без противоречий, которая просто однозначно выводила бы вещественное отрицательное число в степень.
Спасибо.

-- Вт мар 01, 2016 14:57:36 --

И по которой можно будет однозначно понять, почему же

$-2$ в степень $0.56$ результат: $1.4742$...
$-2$ в степень $0.54$ результат: Invalid input. (значит результат комплексное число).
$-2$ в степень $0.52$ результат: $-1.4339$...

И в каком случае после возведения в степень получим вещественное число, в каком случае - комплексное.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: тоже мне дискуссионная тема.
1) Читайте определение операций возведения в степень внимательно
2) Воспользуйтесь поиском по форуму - здесь уже были такие вопросы неоднократно

[Skipper]

И кто поможет разобраться?
Если использовать экспоненциальную формулу,
$a^b = e ^ {b \cdot \ln a}$, то это ничего не даст, потому что $\ln a$ от отрицательного числа (в данном случае $-2$), не существует.

Какая общая формула, даст ответ на вопрос, почему

Цитата:

$-2$ в степени $0.56$ результат: $1.4742$... (результат действительное число)
$-2$ в степени $0.54$ результат: Invalid input. (значит результат комплексное число).
$-2$ в степени $0.52$ результат: $-1.4339$... (результат действительное число)

$-2$ в степени $0.5$, явно комплексное число, потому что корень квадратный из действительного отрицательного числа, не извлекается на множестве действительных чисел.
Спасибо.

[svv]

Skipper в сообщении #1103366 писал(а):

почему же
$-2$ в степень $0.56$ результат: $1.4742$...
$-2$ в степень $0.54$ результат: Invalid input. (значит результат комплексное число).
$-2$ в степень $0.52$ результат: $-1.4339$...

Выше Вам рекомендовали прояснить математическое определение возведения в степень, а не алгоритм, заложенный в калькулятор. Но всё-таки: так как $2^{0.56}=1.4742...$, а $2^{0.52}=1.4339...$ уже «без вопросов», Ваши вопросы к калькулятору сводятся к более простым: почему калькулятор считает, что
$(-1)^{0.56}=+1$
$(-1)^{0.52}=-1$
$(-1)^{0.54}$ — результат не определён.

[Skipper]

Цитата:

почему калькулятор считает, что
$(-1)^{0.56}=+1$
$(-1)^{0.52}=-1$
$(-1)^{0.54}$ — результат не определён.

Верно. Большое спасибо за упрощение!
Вот над этим уже полчаса голову ломаю.

Т.к. можно свести задачу к возведению именно $-1$ в степень, видимо, при возведении этого числа в любую степень, могут быть или не быть в итоге, варианты действительных чисел, $1$ или $-1$, и параллельно, неограниченное множество комплексных вариантов (в зависимости от степени), которые калькулятор показать не может, т.к. это не комплексно-значный калькулятор.
Комплекснозначных вариантов ответов, подозреваю, тем больше чем более сложная степень, т.е. если степень $0.56$, то их будет меньше чем если степень, что нибудь типа, $0.56478323$.

Ну а если среди всех ответов, присутствует действительный, $1$ или $-1$, то калькулятор его и покажет.
Я на правильном пути?

[Brukvalub]

Skipper в сообщении #1103394 писал(а):

Я на правильном пути?

Нет, это вам нужно на форум по калькуляторным вычислениям.

[Skipper]

Цитата:

параллельно, неограниченное множество комплексных вариантов (в зависимости от степени)

Ну а это, потому что в поле комплексных чисел, извлечение корней дает множество ответов, а значит и возведение в любую нецелую степень, даст множество ответов.

Так же, полагаю что когда в калькулятор вводят степень в виде нецелого числа, типа $0.56$, или, $0.56478323$, а оно явно лежит в поле $Q$, он пытается его преобразовать в виде $p/q$, где, $p$ и $q$ - взаимно простые числа.
В зависимости от $q$ , и будет количество возможных комплексных ответов при возведении числа в степень.

Но можно добиться, что степень будет иррациональна - ввести в калькулятор алгебраическое число не составляет труда. Калькулятор покажет или не покажет, если существует один вещественный ответ. А вот сколько в таком случае может быть комплексных ответов, после возведения числа в иррациональную степень? Бесконечное количество что ли?

[Red_Herring]

Skipper в сообщении #1103403 писал(а):

Но можно добиться, что степень будет иррациональна - ввести в калькулятор алгебраическое число не составляет труда.

Поскольку калькулятор округляет….

[svv]

Skipper
Самая большая ошибка, которую Вы можете сделать — это принимать ответы калькулятора за эталон правильности.

И опять «но всё-таки». Проверка показала, что, по крайней мере для показателей степени от $0$ до $1$, и при основании $-1$,
результат $+1$ выдаётся для $0, 0.08, 0.16, 0.24, ...$, то есть $0.08n$, где $n=0,1,2...$
результат $-1$ выдаётся для степеней $0.04, 0.12, 0.20, ...$, то есть $0.08(n+\frac 1 2)$, где $n=0,1,2...$
invalid input — для остальных.
Показатели $0.52, 0.54, 0.56$ вполне описываются этим правилом.

Уверяю Вас, что никакого математического смысла в этом нет.

[Skipper]

Цитата:

Поскольку калькулятор округляет….

Не округляет. калькулятор Windows 7 - все таки не дилетанты писали..
Попробовал $-1$ возвести в степень $\pi$ (используя спец. кнопку) - получил ответ $1$.
Ну а если ввести вручную, степень как $3.1415926535897932384626433832795$ (что и отображалось выше после нажатия на спец. кнопку) - то ответа он не выдаст, т.е. пишет "Invalid output".

Это доказывает факт того, что калькулятор в первом случае не округлил число из $R$ до числа в $Q$.
Аналогично, он не округлит и в случае если получить $\sqrt{2}$ так: нажать на $2$, и потом на кнопку корня.
В памяти калькулятора число будет представлено как иррациональное алгебраическое, а не как число из $Q$.

Почему кто то так не доверяет этому калькулятору? Создавали его для пользования миллиардов людей, неужели не могли привлечь специалистов, чтобы калькулятор никогда не ошибался?

[venco]

svv в сообщении #1103407 писал(а):

Проверка показала, что, по крайней мере для показателей степени от $0$ до $1$, и при основании $-1$,
результат $+1$ выдаётся для $0, 0.08, 0.16, 0.24, ...$, то есть $0.08n$, где $n=0,1,2...$
результат $-1$ выдаётся для степеней $0.04, 0.12, 0.20, ...$, то есть $0.08(n+\frac 1 2)$, где $n=0,1,2...$
invalid input — для остальных.
Показатели $0.52, 0.54, 0.56$ вполне описываются этим правилом.

Уверяю Вас, что никакого математического смысла в этом нет.

Почему никакого? Это ведь у них, скорее всего, не случайно получилось, а явно закодировано. И некий смысл в этом есть. Если степень $2p\over q$, то результат $1$, если степень $p\over 2q$, то результат в вещественных числах не определён, а если степень $p\over q$ с нечётными числителем и знаменателем, то результат равен $-1$. В принципе логично.

[Mikhail_K]

Skipper
Калькулятор врёт. Не нужно смотреть на то, как работает калькулятор, если хотите в чём-то разобраться.

Есть две разные операции: вещественное возведение в степень и комплексное.

- Вещественное возведение в степень (когда и основание, и показатель, и результат вещественны) - не определено для отрицательного основания вообще. То есть отрицательные числа нельзя возводить ни в какие степени (кроме целочисленных): в том числе, нельзя возводить $-2$ в степень $1/3$. (Конечно же, из $-2$ можно извлекать кубический корень - но не возводить в степень $1/3$. Иногда говорят, что всё-таки можно возводить в степень $1/3$, имея в виду извлечение кубического корня; но, по-моему, это запутывает, приводя к парадоксам и противоречиям, один из которых Вы привели сами. Так что лучше считать, что возводить отрицательные числа в нецелые степени просто нельзя.)

- Возведение комплексного числа в рациональную степень. В том числе и возведение отрицательного числа в рациональную степень, в том числе $-2$ в степень $1/2$ или $1/3$. Но это уже другая операция - в отличие от вещественного возведения в степень, эта операция многозначна. Если возвести что-то в степень $1/2$, будет два значения, если в степень $1/3$ - будет три значения (одно из которых, да, кубический корень). Даже $1^{1/2}$ в смысле этой операции имеет два значения: $1$ и $-1$.

Эту вторую операцию можно при желании обобщать и далее, возводить комплексные числа в комплексные степени. Но уже при попытке возвести число в иррациональную степень будет получаться бесконечное количество значений...

Ну и ответ на вопрос - почему калькулятор врёт? потому что не знает, что именно Вы хотите получить. То ли степень в первом смысле, то ли степень во втором смысле. "Просто степень" - такого понятия нет. Те, кто хорошо знают связанную со степенями математику, умеют использовать калькулятор так, чтобы он давал им ценную информацию, при этом умеют игнорировать то, что калькулятор показывает не совсем верно.

-- 01.03.2016, 18:45 --

Ну и тут уже сказали, что кое-какой смысл в том, что говорит калькулятор, по-видимому всё-таки есть. Но не нужно думать, что это результат возведения в степень в строгом смысле. Потому что если хотите строгости, надо уточнять, в каком смысле понимать степень.