Комплексные числа были изобретены по причине того, что нельзя возвести отрицательное вещественное число в любую вещественную степень.
И только с комплексными числами можно делать любые математические операции.
Скажем, число
нельзя возвести в степень
, это извлечение квадратного корня, и он из отрицательных чисел не извлекается, как вещественное число,
т.е. извлекается, но дает в итоге комлексное число.
То же число
, можно возвести в степень
, т.к. кубический корень из отрицательных вещественных чисел дает именно вещественное число.
Я попробовал возвести в степени с помощью вещественного калькулятора Windows 7, и действительно
в степень
- результат - Invalid input. (значит результат комплексное число)
в степень
... - (т.е. степень
) результат:
...
А как же дело обстоит с другими степенями?? Могут же быть произвольные вещественные степени, скажем
. Я и попробовал:
в степень
результат:
...
в степень
результат: Invalid input. (значит результат комплексное число).
в степень
результат:
...
Т.е. при возведении вещественного отрицательного числа в произвольную вещественную степень, оказывается,
могут быть получены как комплексные числа, так и вещественные, причем и положительные и отрицательные!
И какая же общая формула для этого используется? Формула с экпонентой явно не подходит, т.е. она не для
общего случая, и если ее использовать в таких случаях, то вообще никакие отрицательные вещественные числа
не могут быть возведены в дробную степень, т.к. логарифм от отрицательного числа не существует.
И какие границы степеней, разделяют результаты, когда в итоге получается вещественное число, и комплексное число?
Может быть, переопределив эту формулу для возведения в степень так, чтобы в итоге всегда было вещественное
число, мы получим поле вещественных чисел, такое, над которым можно проводить
любые математические операции,
и нам вообще не понадобятся эти комплексные числа, которые всё усложняют?
Тогда многие доказательства, которые используют комплексные числа, сильно упростились бы, а возможно, были бы
получены новые доказательства каких то теорем, гипотез, которые пока не доказаны, из-за более сложного анализа
над полем комплексных чисел.
Скажем, для решения гипотезы, нужно решить какое нибудь дифференциальное уравнение с комплексными переменными, и тут
нельзя найти решение. А если свести его к дифференциальному уравнению с вещественными числами, то решение
будет найдено. (т.к. дифференциальное уравнение станет проще для анализа)
Можно ли переопределить так математические операции возведения в степень, и создать более продвинуную теорию
вещественных чисел. (другое поле вещественных чисел, укладывающееся на прямой, а не на плоскости).