Плот и сопротивление воды

[Pphantom]

Mathew Rogan в сообщении #1103157 писал(а):

Хотя... я снова ошибаюсь. Мы не можем складывать координаты, потому что масштаб разный. Но равенство скоростей как будто бы подталкивает к этому

Ну, насчет разного масштаба я, похоже, погорячился. Без этого допущения задача, по-видимому, просто нерешаема.

[Mathew Rogan]

В общем, получается такое уравнение: $5z - 7z^{0.6} - 2 = 0$

Решить его в общем виде, я так понимаю, не получится. Численно получаем ответ $z = 0,366$, откуда $\alpha=0,03$, откуда искомое расстояние $y_0 = \frac{V_0}{\alpha}=10$ м. Хороший ответ, и с графиком примерно совпадает.

-- 29.02.2016, 18:56 --

Кстати, после замены получается уравнение почти как у DimaM:
$5t^4+5t^3-2t^2-2t-2=0$

Но решать его в общем виде не хочется

[Amw]

Mathew Rogan в сообщении #1103173 писал(а):

Хороший ответ, и с графиком примерно совпадает.

А при чем тут течение вообще? Плот отплывет от берега точно на столько же, как и в стоячей воде - за бесконечное время на бесконечно большое расстояние - по экспоненте.

[Mathew Rogan]

Amw в сообщении #1103184 писал(а):

Mathew Rogan в сообщении #1103173 писал(а):

Хороший ответ, и с графиком примерно совпадает.

А при чем тут течение вообще? Плот отплывет от берега точно на столько же, как и в стоячей воде - за бесконечное время на бесконечно большое расстояние - по экспоненте.

С бесконечно большим временем согласен, а вот в расстоянии интеграл сходится.

[DimaM]

Mathew Rogan в сообщении #1103157 писал(а):

Отношение моментов времени тогда равно не 3, как я изначально наивно полагал, и не 2,5, как получилось у DimaM, а 1,67.

Моя ошибка. Я записал те же формулы для $x, y$, но почему-то вывел из них $x-y=V_0t$ .
Теперь получается, вроде бы, $5z^5-7z^3+2=0$, хрен редьки не слаще.

[Mathew Rogan]

DimaM в сообщении #1103192 писал(а):

Теперь получается, вроде бы, $5z^5-7z^3+2=0$, хрен редьки не слаще.

Да, уравнение верное и приводится к уравнению четвертой степени, но формулу Феррари для него применять это уж слишком.

Ладно, удовлетворюсь численными методами, что ж поделать.

[DimaM]

Amw в сообщении #1103184 писал(а):

Плот отплывет от берега точно на столько же, как и в стоячей воде - за бесконечное время на бесконечно большое расстояние - по экспоненте.

С чего бы на бесконечно большое?
Выше приведены правильные формулы.

Mathew Rogan в сообщении #1103173 писал(а):

В общем, получается такое уравнение: $5z - 7z^{0.6} - 2 = 0$

В конце $+2$. Проверка: $z=1$ должно быть решением.

-- 29.02.2016, 21:20 --

Mathew Rogan в сообщении #1103193 писал(а):

формулу Феррари

(Оффтоп)

Формула Кардано, формула Феррари - какие-то они все автомобильные .

[Mathew Rogan]

DimaM в сообщении #1103194 писал(а):

В конце $+2$. Проверка: $z=1$ должно быть решением.

Да, всё верно, опечатался.

[Munin]

Я вот думаю, а не проще ли было перейти в систему отсчёта воды?

[svv]

Amw в сообщении #1103184 писал(а):

А при чем тут течение вообще? Плот отплывет от берега точно на столько же, как и в стоячей воде - за бесконечное время на бесконечно большое расстояние - по экспоненте.

В условии не задан коэффициент $\alpha$, предполагается, что его надо определить с помощью траектории на рисунке — например, исходя из того, чтобы он проходил через точку $x=1, y=5$, так что движение параллельно берегу тоже «задействовано».

И при зависимости $y(t) = \frac{V_{0y}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha t} )$ имеем $\lim\limits_{t\to+\infty}y(t)=\frac{V_{0y}}{\alpha}$, а не $\infty$.

(Оффтоп)

facepalm — смайлик сильный, пользоваться им надо с осторожностью. Сколько раз я его использовал, столько раз жалел об этом.

Кстати, у меня $\alpha$ получилось примерно $0.019\;\text{с}^{-1}$ (подбирал, строя в программе траектории для различных $\alpha$). Подобрать $\alpha$ так, чтобы траектория соответствовала рисунку, при равном масштабе рисунка по обеим осям невозможно: если траектория проходит через $(1, 5)$, то довольно далеко от $(3,7)$. В момент $t=20\;\text{с}$ будет $x\approx 1.008\;\text{м}, y\approx 4.992\;\text{м}$.

Тогда ответ будет $y_\infty\approx 15.8\;\text{м}$. А что в задачнике?

[Skeptic]

Mathew Rogan в сообщении #1103139 писал(а):

Подскажите, верно ли я составил уравнения движения?

$x = \frac{V_{0x}}{\alpha}(\alpha t + e^{-\alpha t} - 1)$

$y = \frac{V_{0y}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha t} )$

Размерность не совпадает.

[Mathew Rogan]

svv в сообщении #1103350 писал(а):

Тогда ответ будет $y_\infty\approx 15.8\;\text{м}$. А что в задачнике?

К сожалению, ответа я не знаю. Если принять ваш вариант, $0.019\;\text{с}^{-1}$, то в момент времени 33,33 с координата $y_2 = 7.4$ м. В этом случае не выполняется отношение $\frac{y_1}{y_2}=\frac{5}{7}$, которое следует из графика.

-- 01.03.2016, 16:42 --

Skeptic в сообщении #1103363 писал(а):

Размерность не совпадает.

Почему не совпадает? Всё, что в скобках, безразмерное, $\alpha$ измеряется в секундах в минус первой степени.

[svv]

(DimaM)

DimaM в сообщении #1103194 писал(а):

Формула Кардано, формула Феррари - какие-то они все автомобильные .

Все трое (один Кардано и двое Феррари) родились на севере Италии, как и Леонардо да Винчи. Юг Италии — это вечный застой, зато север, ещё со времён Леонардо, — центр научно-технического прогресса. А вершина прогресса — ясное дело, автомобилестроение. Т.е. просто все они продукты одного котла, который варит уже лет пятьсот или больше, и совпадения фамилий не столь случайны.

Mathew Rogan
Но разве вариант $\alpha=0.03$ лучше? Ведь тогда
$\bullet$ при $t=20.00$ будет $x=1.49, y=4.51$, расстояние от точки $(1, 5)$ равно $0.69$;
$\bullet$ при $t=33.33$ будет $x=3.68, y=6.32$, расстояние от точки $(3, 7)$ равно $0.96$ (тем более, что на рисунке кривая проходит ещё выше этой точки).
Но самое главное, что Вы могли бы приблизиться к обеим точкам, если бы выбрали меньшее $\alpha$.

[Skeptic]

Скорости плота вдоль берега и поперёк течения относительно воды в момент отталкивания равны $0,3 \text{м/сек}$. Это равносильно, если в стоячей воде плот оттолкнуть от берега под углом 45 градусов. Почему плот удалился от берега дальше, чем по течению?

[svv]

Потому что пока $y$-скорость не теряя времени относила плот от берега, отрицательная $x$-скорость плота относительно воды боролась с положительной $x$-скоростью течения, давая результат, близкий к нулю.

В конце концов, конечно, смещение по $x$ будет больше, чем по $y$.