СТО. Человек в тоннеле

[physicsworks]

Человек идет со скоростью $v$ по направлению к тоннелю. Одновременно (по часам в тоннеле) с моментом времени, когда человек входит в тоннель, навстречу ему с противоположного конца тоннеля посылается световой сигнал. Найдите какую часть тоннеля пройдет человек до момента встречи со световым сигналом работая в системе отсчета, связанной с человеком. Сравните результат с тем, который можно получить работая в системе отсчета, связанной с тоннелем.

Решение задачи не предполагает прямое использование преобразований Лоренца. Можно пользоваться только количественными описаниями эффектов сокращения длины и замедления времени.

(Оффтоп)

Подсказка: не используя преобразований Лоренца, покажите, что, человек, наблюдающий одновременно показания часов, расположенных на дальнем и ближнем концах тоннеля, приближающегося к нему со скоростью $v$, обнаружит, что часы на ближнем конце тоннеля отстают по сравнению с часами на дальнем конце на $L v/c^2$, где $L$ --- собственная длина тоннеля.

[physicsworks]

Чего-то туго идет. Один Мунин решил пока (отправил по ЛС). Ну, можно попробовать смягчить условия и решать пользуясь преобразованиями Лоренца (ПЛ). Но это преступление против замысла автора.

[DimaM]

А в чем тут "олимпиадность"?

[physicsworks]

DimaM в сообщении #1103774 писал(а):

А в чем тут "олимпиадность"?

в этом разделе не мало тем, в которых обсуждаются явно не олимпиадные задачи. Другого раздела просто нет.

[waxtep]

Можно ли в решении пользоваться подобием треугольников на картине мировых линий, или это тоже нечестно? Если не ошибаюсь, это сразу дает одинаковый результат в обеих ИСО, численное значение которого легко получить в ИСО тоннеля. (из этой же картины видно, что в ИСО человека свет будет излучен до его входа в тоннель)

[physicsworks]

waxtep, можно, но рекомендуется получить численное значение работая только в ИСО человека.

[Munin]

Меня просили не забыть выложить решение, а я забыл. Исправляю.

----------------

physicsworks в сообщении #1103281 писал(а):

Решение задачи не предполагает прямое использование преобразований Лоренца. Можно пользоваться только количественными описаниями эффектов сокращения длины и замедления времени.

Перечисленные эффекты - физические наблюдаемые. Преобразования Лоренца же - не наблюдаемые. Кроме того, в задаче и в подсказке используется понятие одновременности, тоже ненаблюдаемое.

Отсюда я делаю вывод, что законно использовать интерпретацию, что "одновременно (в СО какого-то тела)" означает процедуру синхронизации, например, Эйнштейна, в СО, связанной с этим телом. Именно такая процедура делает одновременность наблюдаемой.

По процедуре Эйнштейна, чтобы синхронизировать часы на разных концах тоннеля, необходимо послать к ним световой сигнал из центра тоннеля. Если поставить зеркала на концах тоннеля, то этот световой сигнал сойдётся обратно в центре. Используем вторую часть этого "ромбика" (одновременно в СО тоннеля испущенные световые сигналы встретятся в центре тоннеля), и видим, что исходная задача эквивалентна такой:

Человек, входя в тоннель, посылает вперёд световой сигнал, который отражается от зеркала, расположенного посередине тоннеля.

В СО человека:
Тоннель имеет длину $L'=L/\gamma,$ зеркало движется навстречу со скоростью $v.$ К моменту отражения оно сдвинется на расстояние $(L'/2)\cdot v/(c+v),$ а к моменту возвращения сигнала к человеку, весь тоннель сдвинется на $L'v/(c+v),$ что составляет $v/(c+v)$ всего тоннеля.

В СО тоннеля - ответ тот же, $v/(c+v)$ всего тоннеля.

Эффект замедления времени не использован.