loshkaВ топологии поточечной сходимости - это хорошая попытка.
Как уже отметил
Someone, чтобы поломать диагональный процесс, нужна неметризуемость - а как раз тут это имеется. А можно вспомнить матан, равномерную сходимость, теорему о перестановке пределов - и станет ясно, что надо устроить что-то неравномерное. Вот давайте и вспомним образцы неравномерной сходимости. Типичный пример: это когда такая "галочка" ползет, сжимаючись... Вот в таком роде и попробуем что-то изобразить.
Поехали: для начала, построим типовой такой пример точно. Конкретно, пусть функция

- такая: равна 0 при

и

, на участке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
равна

, на
![$[1,2]$ $[1,2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/a/4bacaa9b3789e39bb761a7b8f0b1cc7a82.png)
равна 1, на
![$[2,3]$ $[2,3]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/f/a1f41db75c60e89c294d07760889c72682.png)
равна

. Нарисовали график? Это такая трапеция, со ступенькой на высоте 1. Рассмотрим последовательность функций

. Проверьте, что (будем работать с пространством непрерывных функций на отрезке
![$[0,4]$ $[0,4]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/5/8d5667bcd5ec96554965eda3692efc9a82.png)
) последовательность эта сходится к 0 поточечно.
Ну вот, а теперь - занумеруем все рациональные числа на
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
, и пусть

- рациональное с номером

. Положим

. Это и будет Ваше ужасное семейство. При

, будет

, ( а последовательность из нулей, ясно, сходится к нулю). Осталось показать, что никакая "диагональ" к нулю не сходится. Ну, попробуйте это доказать. (Используйте принцип вложенных отрезков).
PS Боюсь, ничего проще - не делается.