2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 помогите разобраться в определение
Сообщение28.02.2016, 14:35 


26/12/13
228
Здравствуйте, пытаюсь разобраться в определение которое дал мне препод, пытаюсь придумать простенькие примеры, что бы понять как эта штука работает, застопорился на пространстве непрерывных функций, пытался построить пример на основе скорости сходимости по $m$ и $n$ но вчитавшись в определение понял, что наверно это неправильно, подскажите в каком направление думать.
Собственно само определение: "принцип диагонали" для всякой последовательности $x_n$ сходящейся к точке $x$ топологического пространства $X$ и всяких последовательностей $\{x_{nm}\}_{m=1} ^\inf$ сходящихся к точке $x_n$ найдется подпоследовательность $x_{nm_n}$ сходящаяся к точке $x$.
Если я правильно понимаю, то это "диагональ" может быть невероятно "кривой", мне сказали что в пространстве непрерывных функций это не выполнено, но пока не получается понять почему это так.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение28.02.2016, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
loshka в сообщении #1102765 писал(а):
мне сказали что в пространстве непрерывных функций это не выполнено
А какое именно имеется в виду пространство непрерывных функций, с какой топологией? Или это Вы сами должны придумать?

Если топология задаётся метрикой (или нормой), то такую диагональную последовательность можно найти. Поэтому топология на пространстве функций должна быть не метризуемой.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение28.02.2016, 16:36 


26/12/13
228
самому для начала придумать, пробовал в топологии поточечной сходимости как-то не вышло, мне хочется придумать что этот принцип не выполнялся

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение28.02.2016, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
loshka в сообщении #1102817 писал(а):
пробовал в топологии поточечной сходимости как-то не вышло
Как пробовали и что "не вышло"?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение28.02.2016, 22:44 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
loshka
В топологии поточечной сходимости - это хорошая попытка.
Как уже отметил Someone, чтобы поломать диагональный процесс, нужна неметризуемость - а как раз тут это имеется. А можно вспомнить матан, равномерную сходимость, теорему о перестановке пределов - и станет ясно, что надо устроить что-то неравномерное. Вот давайте и вспомним образцы неравномерной сходимости. Типичный пример: это когда такая "галочка" ползет, сжимаючись... Вот в таком роде и попробуем что-то изобразить.
Поехали: для начала, построим типовой такой пример точно. Конкретно, пусть функция $f(x)$ - такая: равна 0 при $x<0$ и $x>3$, на участке $[0,1]$ равна $x$, на $[1,2]$ равна 1, на $[2,3]$ равна $3-x$. Нарисовали график? Это такая трапеция, со ступенькой на высоте 1. Рассмотрим последовательность функций $g_n (x) = f(nx)$. Проверьте, что (будем работать с пространством непрерывных функций на отрезке $[0,4]$) последовательность эта сходится к 0 поточечно.
Ну вот, а теперь - занумеруем все рациональные числа на $[0,1]$, и пусть $r_n$ - рациональное с номером $n$. Положим
$h_{n,m} (x)= g_n(x-r_m)$. Это и будет Ваше ужасное семейство. При $n \to \infty$, будет $h_{n,m}  \to 0$, ( а последовательность из нулей, ясно, сходится к нулю). Осталось показать, что никакая "диагональ" к нулю не сходится. Ну, попробуйте это доказать. (Используйте принцип вложенных отрезков).
PS Боюсь, ничего проще - не делается.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение28.02.2016, 23:51 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
loshka
1.У меня, по сравнению с Вашей постановкой задачи, перепутались буквы $m$ и $n$
2. доказательство облегчится, если вместо $h_{n,m} (x)= g_n(x-r_m)$ использовать
$h_{n,m} (x)= g_{n+m}(x-r_m)$ - чтобы гарантированно носители (множество точек, где функция ненулевая) уменьшались с ростом $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение29.02.2016, 16:43 


26/12/13
228
1)очень красиво смотрится,только мне не понятен один момент, при фиксированном $n$ выражение $h_{n,m}(x) \to g_n(x)$ при $m\to \infty$ но получается что оно сходится к $g_n(x-1)$ тогда разве правильней бы не было занумеровать рациональные числа начиная с единицы и кончая нулем?
2)честно я просто не понимаю какое имеет значение то что мы взяли $r_n$ если просто устремить $n$ и $m$ к бесконечности то получается $f(n+m(x-1))$ это очевидно стремится к нулю, я думал пол дня и не вижу как эта конструкция работает, я не прошу написать остаток док-ва, пожалуйста объясните на примере почему $r_m$ как-то влияет на функцию $g_n(x)$ ведь это просто смещение трапеции на рациональное число ,если взять $r_m=0.5$ и $n=10$ то получается
$f(x)=0, 0.5<x, x> 0.8$
$f(x)=x ,0.5<x<0.6$
$f(x)=1 ,0.6<x<0.7$
$f(x)=3-x, 0.7<x<0.8 $это просто смещение, поточечная сходимость сохраняется, как это смещение может вызывать бугор во всех рациональных точках?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение29.02.2016, 17:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
loshka в сообщении #1103161 писал(а):
мне не понятен один момент,

Не-не-не, все не так: я ж написал, что
DeBill в сообщении #1102963 писал(а):
1.У меня, по сравнению с Вашей постановкой задачи, перепутались буквы $m$ и $n$

Т.е, если хотите использовать свои обозначения, то у меня везде поменяйте местами $m$ и $n$ . Но если не менять:
Должно получится так: $h_{n,m} \to 0$ при $n \to \infty$. Эти нули и есть $q_m$, и они сходятся к 0 при $m\to \infty$ . Однако, для любого выбора чисел $n_m$, последовательность $h_{n_m,m}$ к этому (последнему) нулю не сходится (поточечно). Вот это последнее Вам и надо доказать.

-- 29.02.2016, 18:22 --

И с нумерацией рац. чисел: они же плотно натыканы на отрезке, так что ни о каком "упорядоченном" способе их нумерации и речи нет. Но какая-то есть - из счетности.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение29.02.2016, 18:55 


26/12/13
228
эм, моя попытка.
возьмем $h_{11}(x)$ существует интервал $[a,b]$ на котором $h_{11}(x) =1$ и при этом вне отрезка $[a,b]$ $h_{11}(x)<1$ , возьмем $h_{22}(x)$ существует интервал $[a_1,b_1]$ на котором $h_{22}(x)= 1$ и при этом вне отрезка $[a_1,b_1]$ $h_{22}(x)<1/2$ причем $[a_1,b_1] \subset [a,b]$ и т.д. Значит по принципу вложенных отрезков найдется точка принадлежащая всем этим интервалам для которой выполнены все неравенства и сходимости поточечной нет.
Чувствую что идея провальная ибо нигде не использовал $r_n$ :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение29.02.2016, 20:08 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
В принципе, нормально. Только бог с ними, с точками, где - мало, будем строить точку, где функции равны 1. Принцип вложенных - да. Но ведь надо обеспечить вложенность!
И исчо: построить точку, где ВСЕ функции равны 1 - безнадега. Но ведь нам это и не надо: достаточно в нашей посл- ти найти ПОДпоследовательность с таким свойством....

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение29.02.2016, 20:51 


26/12/13
228
спасибо большое, буду думать

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение29.02.2016, 21:00 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
loshka
Да, еще: что это за $h_{22}$ в вашем тексте? Нет у нас таких. У нас есть , для каждого натурального $m$, натуральное $n_m$, и, соответственно, последовательность функций $h_{n_m ,m}$. Вот с ней мы и должны бороться...

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение29.02.2016, 23:42 


26/12/13
228
вроде бы с горем пополам доказал, но смущает один момент о вложенности, интервалы на которых функция равна единицы это $[r_1+ 1/(m_1+n_{m_1}) ; r_1+ 2/(m_1+n_{m_1})]$ а для $m_2,n_{m_2}$ таких что $m_2>m_1$, $n_{m_2}>n_{m_1}$ и для второго случая интервалы будут такие $[r_2+ 1/(m_2+n_{m_2}) ; r_2+ 2/(m_2+n_{m_2})]$ и если факт $r_2+ 2/(m_2+n_{m_2})<r_1+ 2/(m_1+n_{m_1})$ очевиден то второе неравенство $r_1+ 1/(m_1+n_{m_1})< r_2+ 1/(m_2+n_{m_2})$ кажется куда сомнительней, все получается от того как занумеровали $r_n$ можно здесь сослаться на всюду плотность и отсюда произвольность нумеровки

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите разобраться в определение
Сообщение01.03.2016, 11:22 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
loshka в сообщении #1103262 писал(а):
можно здесь сослаться на всюду плотность

Нужно! Нужно на это сослаться. Только пока не получится, ибо у Вас есть неточность: надо не $r_2$, а $r_{m_2}$..., и т.п..
Конечно, тут нужна аккуратность. Типа, поделим текущий отрезок (построенный на предыдущем шаге, скажем, на шаге 2), пополам. На его левой половине выберем рациональную точку с номером $m_3$, таким, чтобы $m_3 > m_2$ и $m_3 $ больше $\frac{1}{6\cdot l}$, $l$ - длина текущего отрезка. Тогда гарантированно следующий отрезок попадет внутрь предыдущего....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group