loshkaВ топологии поточечной сходимости - это хорошая попытка.
Как уже отметил
Someone, чтобы поломать диагональный процесс, нужна неметризуемость - а как раз тут это имеется. А можно вспомнить матан, равномерную сходимость, теорему о перестановке пределов - и станет ясно, что надо устроить что-то неравномерное. Вот давайте и вспомним образцы неравномерной сходимости. Типичный пример: это когда такая "галочка" ползет, сжимаючись... Вот в таком роде и попробуем что-то изобразить.
Поехали: для начала, построим типовой такой пример точно. Конкретно, пусть функция
- такая: равна 0 при
и
, на участке
равна
, на
равна 1, на
равна
. Нарисовали график? Это такая трапеция, со ступенькой на высоте 1. Рассмотрим последовательность функций
. Проверьте, что (будем работать с пространством непрерывных функций на отрезке
) последовательность эта сходится к 0 поточечно.
Ну вот, а теперь - занумеруем все рациональные числа на
, и пусть
- рациональное с номером
. Положим
. Это и будет Ваше ужасное семейство. При
, будет
, ( а последовательность из нулей, ясно, сходится к нулю). Осталось показать, что никакая "диагональ" к нулю не сходится. Ну, попробуйте это доказать. (Используйте принцип вложенных отрезков).
PS Боюсь, ничего проще - не делается.