Функция от экспериментальных данных

[ievlev.pn]

Здравствуйте!

Пусть есть $n$ экспериментов, в каждом из которых определяется $k$ параметров. Для удобства назовём $x_i^j$ случайную величину, соответствующую $i$-ому параметру в $j$-ом эксперименте. Требуется вычислить функцию $f(x_1, \, \ldots, \, x_k)$ и найти её дисперсию.
Возможны два варианта.
Первый. В $j$-ом эксперименте можно оценить среднее $\mu_i^j$ и дисперсию $\sigma_i^j$, соответствующие случайной величине $x_i^j$, потом оценить взвешенное среднее и взвешенную дисперсию (усреднить по всем экспериментам), получив параметры $\mu_i$ и $\sigma_i$ и вычислить функцию $f$ на этих усреднённых оценках.
Второй вариант -- вычислить функцию $f$ в каждом эксперименте, то есть получить набор $f(x_1^j, \, \ldots, \, x_k^j)$ и соответствующих им дисперсий $\sigma^j(f)$, а потом оценить взвешенное среднее этих $f(x_1^j, \, \ldots, \, x_k^j)$.
В связи с этим возникает естественный вопрос: какой из двух вариантов предпочтительнее и почему?

P.S. Буду крайне благодарен за ссылки на литературу по теме.

[Otta]

Щас я буду ничего не понимать. Правильно ли я понимаю, что у Вас есть выборка $x_1,\ldots x_n$ (мои обозначения не совпадают с Вашими) из $k$-параметрического распределения $X(\theta_1,\ldots\theta_k)$, все параметры неизвестны.

Если да, то расскажите, пожалуйста, что Вы назвали $\theta_j^i$ (параметр? какой?), и что такое функция $f$.

[ievlev.pn]

Под $\theta_i^j$ я имею в виду, говоря Вашими терминами, $\theta_i$ из $x_j$.
$f$ -- некоторая вещественнозначная функция от параметров $\theta_i$

[arseniiv]

Мне кажется, вы с Otta друг друга не поняли, и у вас есть $k$-мерное распределение и выборка из него, а не $k$-параметрическое семейство распределений и выборка из какого-то из этих распределений с неизменными параметрами.

[Otta]

ievlev.pn в сообщении #1102948 писал(а):

Под $\theta_i^j$ я имею в виду, говоря Вашими терминами, $\theta_i$ из $x_j$.
$f$ -- некоторая вещественнозначная функция от параметров $\theta_i$

Выборка бесповторная или повторная (независимая)?

-- 29.02.2016, 01:13 --

arseniiv в сообщении #1102951 писал(а):

и у вас есть $k$-мерное распределение и выборка из него, а не $k$-параметрическое семейство распределений и выборка из какого-то из этих распределений с неизменными параметрами.

Может быть и так, но слово "параметр" в статистике толкуется обычно однозначно.
Вот и уточняю, ибо совершенно непонятно.
У меня есть основания для моей интерпретации, поскольку наряду с

ievlev.pn в сообщении #1102911 писал(а):

функцию $f(x_1, \, \ldots, \, x_k)$

соседствует

ievlev.pn в сообщении #1102911 писал(а):

этих $f(x_1^j, \, \ldots, \, x_k^j)$

Так что уточнения все равно потребуются.

[ievlev.pn]

arseniiv в сообщении #1102951 писал(а):

и у вас есть $k$-мерное распределение и выборка из него

Да, именно это я и имел в виду. Простите пожалуйста мне моё терминологическое невежество.
Выборка независимая.

[DeBill]

Otta в сообщении #1102933 писал(а):

Щас я буду ничего не понимать.

Otta
, а давайте не понимать вместе. Потому как, мне кажется, после пояснений ТС все стало еще страньше (так надо писать, нет?)
Я подозреваю, что...мое первое понимание было неверным.
Ну, может так: имеется выборка объема $n$ из $k-$ мерного распределения?
ievlev.pn
А функция $f$ задана?
Но что я в упор не понимаю, , это

ievlev.pn в сообщении #1102911 писал(а):

дисперсий $\sigma^j(f)$,

Но если это таки просто убрать, то остальное, вроде, делается осмысленным.
Но тогда : первый способ - нехорош, ибо преобразование случайной величины напрочь портит ее параметры.
А второй - годится. Т.е., по результатам $n$ экспериментов получим выборку объема $n$ уже значений, обработаем их, и найдем оценки мат ожидания и дисперсии... Вперед!

[ievlev.pn]

DeBill в сообщении #1102961 писал(а):

А функция $f$ задана?
Но что я в упор не понимаю, , это

ievlev.pn в сообщении #1102911 писал(а):

дисперсий $\sigma^j(f)$,

Видимо, мне стоило сказать, что вопрос относится не к высокой статистике, а к простой и банальной обработке экспериментальных данных.
Функция $f$ задана. К сожалению, я не понимаю, чего вы не понимаете. Моих обозначений?
На более простом примере. Есть случайная величина $x$. Есть функция $f(x)$. Надо найти среднее и дисперсию $f(x)$. Для этого пользуются обычным правилом propagation of errors. В описанном мною случае есть $n$ оценок $k$ случайных величин и соответствующие им дисперсии. Вопрос же звучит так: "правильнее" сначала считать взвешенное среднее этих параметров, а потом вычислять функцию, или вычислить функцию для каждой из $n$ оценок, а потом определить взвешенное среднее этих вычисленных значений функции?

[DeBill]

ievlev.pn
Да все нормально
Я уже написал: правильнее - второй способ (и даже - почему).

[ievlev.pn]

DeBill
А можно Вас попросить поподробнее объяснить, почему и как оно (преобразование) портит параметры случайной величины? Или поделиться ссылкой на литературу.

[DeBill]

Просто Вы для каждого $j$ получите одно число (значение $f$), и ни о какой его дисперсии речи не будет.
И: обычно буквой "сигма" обозначают среднеквадратическое отклонение. Не перепуталось ли у вас что-нибудь?
И последнее: я бы полагал, что Вы будете действовать так: по полученному набору чисел $f^j$ стандартными формулами сосчитаете их среднее, и, затем, дисперсию этого набора. Однако это не совсем согласуется с Вашим вторым способом из первого поста.

[Otta]

ievlev.pn в сообщении #1102966 писал(а):

поподробнее объяснить, почему

Например, потому что экспонента от суммы не равна сумме экспонент.

$e^{\bar x}= e^{(x_1+x_2)/2}\ne \frac{1}{2}(e^{x_1}+e^{x_2})$

А именно сумма экспонент (с поправкой на множитель) - это выборочное среднее для $e^{x_i}$.

В общем, это практически никогда неверно, кроме совсем уж редкого случая.

Примерно по тем же причинам происходит "порча" оценок теоретических моментов.

[DeBill]

ievlev.pn
Ну, вот простой пример: случайная величина принимает два значения, 1 и 3, с равными вероятностями.
Чему равно среднее? Понятно: 2.
А теперь возьмем квадрат от нашей сл. величины: он принимает тоже два значения: 1 и 9, и тоже с равными вер-ми. Среднее - будет 5. А квадрат от старого среднего - 4.
В учебниках пишут, что линейные преобразования мат ожидание не портят (позитив!), что правда. А про нелинейные - не пишут, потому что они - портят (негатив! а зачем нам негатив?) (но иногда - и не портят, но как заранее это узнать?)
А с дисперсией - и еще хуже. Так что общее правило обработки вычислений - применять ваш второй способ (т.е., бережно нести всю доступную инфу в неискаженном виде - до самого последнего момента).

[ievlev.pn]

DeBill в сообщении #1102976 писал(а):

ievlev.pn
Ну, вот простой пример: случайная величина принимает два значения, 1 и 3, с равными вероятностями.
Чему равно среднее? Понятно: 2.
А теперь возьмем квадрат от нашей сл. величины: он принимает тоже два значения: 1 и 9, и тоже с равными вер-ми. Среднее - будет 5. А квадрат от старого среднего - 4.

Я и не говорил, что они должны совпасть. Не понимаю, как из Вашего примера следует, что оценка "5" лучше оценки "4".
То, что линейные не портят, а нелинейные портят -- факт довольно очевидный. Только ведь эти преобразования придётся произвести в любом случае.
Впрочем, я понял, что Вы имели в виду. Спасибо большое!

[Otta]

ievlev.pn в сообщении #1102979 писал(а):

Не понимаю, как из Вашего примера следует, что оценка "5" лучше оценки "4".

Это не оценка. Это матожидание. Среднее значение, стало быть. И как-то понятно, какое среднее значение у с.в., которая приниимает всего два значения, один и девять, причем с равными вероятностями. Это вовсе не четыре.