Магические квадраты

[kilobok]

Natali-Mak!
Вы написали, что нашли 36 идеальных квадрата порядка 8. Могли бы их привести все? Очень интересно было бы взглянуть на них с точки зрения различий.

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

У меня возник такой вопрос: в нетрадиционном би-магическом квадрате обязательно должно присутствовать число 1? В приведённом по указанной здесь ссылке нетрадиционном би-магическом квадрате 6-ого порядка число 1 присутствует.
Если присутствие числа 1 необязательно (как и вообще в любом нетрадиционном квадрате), то у меня интересный момент обнаружился.

Вообще присутствие 1 необязательно. Но нетрудно видеть, что если к элементам такого квадрата одновременно прибавить (ну или вычесть) одно и тоже число, то его би-магичность не нарушится. Поэтому из любого такого квадрата простым "сдвигом" всех элементов на фиксированное смещение всегда можно получить би-магический квадрат, у которого наименьший элемент равен 1.

Добавлено спустя 2 часа 9 минут 25 секунд:

Nataly-Mak писал(а):

всё действительно построила сама разработанным мной методом качелей, который, кстати сказать, оказался универсальным методом.
Если бы действительно была плагиатором, не стала бы публиковать это сообщение.
Привожу эту цитату потому, что этот горе-популяризатор математических знаний до сих пор пребывает в уверенности, что идеальные квадраты существуют только нечётных порядков.
А я, между прочим, сегодня построила идеальные квадраты 40-ого порядка.
Смотрите статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка”.

Кстати, пара вопросов по терминологии: какое значение вы вкладываете в слово "универсальный", описывая свой метод? И почему вы пользуетесь какой-то странной терминологией типа "чётно-чётный порядок"? Почему бы просто не сказать "порядка 4n" или "порядка 4n+2" или "порядка 8n+1" и т.п.?

[Nataly-Mak]

В статье «Идеальные квадраты чётно-чётного порядка» я привела первые семь идеальных квадратов восьмого порядка из 36, построенных мной по данной схеме (то есть схема скопирована с известного идеального квадрата восьмого порядка, только квадраты начинаются с числа 1). Не знаю, уместно ли здесь показывать все 36 квадратов? Если модераторы позволят, я покажу. В статье показано и одно преобразование, связывающее два квадрата данной группы. Это преобразование типа “плюс-минус”. Лучше дайте свой адрес, я пришлю вам этот файл.
***
О моей терминологии. Нечётный порядок, чётно-чётный порядок (или порядок двойной чётности), чётно-нечётный порядок (или порядок одинарной чётности) – эта терминология взята из старых журналов «Наука и жизнь» (70-е годы прошлого века), по которым я знакомилась с магическими квадратами. Просто я к ней привыкла. Думаю, она всем понятна.
Теперь об универсальности метода качелей. Этот метод был разработан мной для построения идеальных квадратов.
Ну, вам вообще понятен смысл слова “универсальный”?
Есть ещё один универсальный метод – это метод построения составных квадратов. Вам знаком этот метод? Потом я обнаружила, что метод качелей годится и для построения пандиагональных квадратов (любых порядков, для которых такие квадраты существуют), не являющихся идеальными, то есть они пандиагональны, но не ассоциативны. Посмотрела на пандиагональные квадраты 15-ого и 21-ого порядка Хендрикса и увидела, что в них тоже работает метод качелей. Затем увидела, что метод годится и для построения просто ассоциативных квадратов любого порядка (для которого такие квадраты существуют). Затем начала рассматривать квадраты Франклина и снова применила к его схеме построения и полумагических, и пандиагонального квадрата 16-ого порядка метод качелей. Ещё один древний алгоритм разрабатывала – Агриппа-Френикля, и опять с помощью метода качелей. И, наконец, вот буквально на днях применила этот метод к построению идеальных квадратов восьмого порядка. А затем применила метод построения составных квадратов (второй универсальный метод) и построила идеальный квадрат 40-ого порядка. Получается, что с помощью этого метода можно построить идеальные квадраты любого порядка n=8k, k=5,7,9,… n=8 в степени p, p=2,3,4,5… (хотя я применила тег, но степень у меня почему-то не получилась)

Дело в том, что в методе качелей заложен один очень мощный принцип: заполнение матрицы определяется схемой расположения начальной цепочки первых n чисел (n – порядок квадрата). На основе этой начальной цепочки формируется образующая таблица по своим законам. Каждый столбец образующей таблицы содержит набор n чисел от n*k+1 до n*(k+1), где k – номер цикла качания качелей, k=1, 2, 3, … (n-1). Всё это очень подробно описано в моей статье «Идеальные квадраты. Метод качелей» (читайте всю статью, она написана в 14 частях). Сложность только в том, чтобы увидеть закономерности формирования образующей таблицы. Дальше всё очень просто. Можно составлять программу и строить все квадраты.
Метод Александрова – это частный случай метода качелей. В общем случае метод качелей не имеет ничего общего с ходом шахматного коня. А в частном случае, когда начальная цепочка строится именно ходом шахматного коня, эти два метода совпадают. Хотя у Александрова совсем нет образующей таблицы, и как он осуществляет свои перескакивания ходом коня, мне до сих пор непонятно.
***
О би-магических квадратах. Вы правильно написали о сдвиге (прибавить или вычесть одно и то же число). А я обнаружила, что ведь и умножить каждый элемент би-магического квадрата можно на одно и то же число. И он останется би-магическим. Таким образом, из традиционного би-магического квадрата можно сделать нетрадиционный, умножив все элементы на одно и то же число. И если, паче чаяния, вы найдёте нетрадиционный би-магический квадрат 5-ого порядка, то из него можно получить бесконечно много нетрадиционных би-магических квадратов. Правильно? Следовательно, ваша система уравнений либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
А ещё я вчера попробовала применить универсальный метод построения составных квадратов к построению составного би-магического квадрата. Кажется, и тут метод работает! Ещё надо доработать это, затем (если всё получится) помещу в статье Би-магические квадраты.
Вот в этом и состоит универсальность данного метода: можно построить составные
а) полумагические; б) магические; в) ассоциативные; г) пандиагональные; д) идеальные квадраты. Для построения надо взять в качестве базового и основного квадратов соответствующие квадраты. Порядки базового и основного квадратов определяются из представления порядка квадрата в виде произведения двух чисел. Например, идеальный составной квадрат 40-ого порядка строится на базе идеального квадрата пятого порядка, за основной берётся идеальный квадрат восьмого порядка, или наоборот (40=8*5). Я показала в статье оба варианта. Замечу, что метод построения составных квадратов известен очень давно.

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

О моей терминологии. Нечётный порядок, чётно-чётный порядок (или порядок двойной чётности), чётно-нечётный порядок (или порядок одинарной чётности) – эта терминология взята из старых журналов «Наука и жизнь» (70-е годы прошлого века), по которым я знакомилась с магическими квадратами. Просто я к ней привыкла. Думаю, она всем понятна.

Не скажите. Мне она стала понятна, только после того, как прикинул методом исключений, что это может быть. А вообще такая терминология носит очень "несерьёзный" характер и сильно отдает "любительством" (если не сказать, дилетантством). Например, статья с названием «Идеальные квадраты чётно-чётного порядка» никогда бы меня не заинтересовала сама по себе, а вот статьей с названием «Идеальные магические квадраты порядка 4n» я бы вполне мог заинтересоваться. Несмотря на кажущуюся похожесть названий, второе гораздо строже в математическом смысле, и дает надежду, что ее автор дружит с математикой, а статья является содержательной.
Поэтому я бы рекомендовал привести вашу терминологию в соответствие со "стандартной", что придаст вашим статьям в том числе и научную строгость и сможет привлечь больше читателей.

Nataly-Mak писал(а):

О би-магических квадратах. Вы правильно написали о сдвиге (прибавить или вычесть одно и то же число). А я обнаружила, что ведь и умножить каждый элемент би-магического квадрата можно на одно и то же число. И он останется би-магическим. Таким образом, из традиционного би-магического квадрата можно сделать нетрадиционный, умножив все элементы на одно и то же число. И если, паче чаяния, вы найдёте нетрадиционный би-магический квадрат 5-ого порядка, то из него можно получить бесконечно много нетрадиционных би-магических квадратов. Правильно? Следовательно, ваша система уравнений либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

У меня все вышесказанное уже учтено - систему я решаю "нормированную", где один элемент равен 0 (это достигается сдвигом), а другой равен 1 (умножением на рациональное число). Это полезно, в частности, и потому, что сокращает размерность системы на 2.

[kilobok]

Nataly-Mak, буду очень признателен, если вы пришлете на адрес [e-mail] все 36 идеальных квадратов 8 на 8.

[Nataly-Mak]

Поместила файл с 36 идеальными квадратами на сайт. Может быть, кто-нибудь ещё захочет посмотреть.
Смотрите: «Идеальные квадраты восьмого порядка».
Спасибо за критику. Я подумаю. Вообще-то критику “ненаучности” моих статей я уже имела с лихвой.
Один товарищ написал, что это тянет только на игру в пятнашки. Ну, я ведь ни на что и не претендую!
Делаю то, что мне нравится. Кому интересно, пусть читают. Кто хочет “понаучнее”, выбор свободен.
Вот программу для построения идеальных квадратов 12-ого порядка не могу прогнать до конца, не
хватает терпения ждать. Как только много циклов и переменные циклов принимают значения от 1 до 11,
так мой Бейсик сразу “сдаётся”.
Помогите по существу! Тут мне давали ссылку на вариант Бейсика. Я по ссылке посмотрела, там всё
по-английски написано. Ну, кажется, объясняются некоторые функции. Это можно вникнуть и разобраться, что к чему. Хотя дополнительные функции мне и не нужны. А что с интерпретатором?
Нужен новый интерпретатор, а не тот, который у меня? У меня интерпретатор QBASIC.
Сильно ли отличается по быстродействию это вариант Бейсика от того, который работает у меня?
Вы вот говорите, что 70-летнего человека обучили основам какого-то языка. Так ведь я тоже могла бы обучиться другому языку, да учителя нет. Есть один виртуальный учитель, он меня очень многому научил.
Я же Интернет совсем не знала два года назад, когда приобрела компьютер. Но ведь языку по электронной почте трудно научить. К тому же он очень занятый человек и не балует меня консультациями.
Я видела на сайте Александрова программы на YABASIC. Это тоже вариант Бейсика, как я понимаю. Эти программы очень похожи на программы на Бейсике. Мне один товарищ писал, что
у этого варианта быстродействие значительно выше. Но опять у меня тот же вопрос с интерпретатором.
По Интернету “гулять” подолгу не могу, это для меня дорого.

[kilobok]

Ната!
По адресу http://www.yabasic.de/ находишь раздел Sources for Windows. Там скачиваешь ссылку yabasic-2.763.src.exe
Когда скачаешь и раскроешь, будет несколько файлов, один из которых сам интерпретатор, еще один - перечень команд. К сожадению, на инглише. Но все понятно по примерам. Если вопросы будут - спроси меня.
Спасибо за полный набор 36 файлов!

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

Помогите по существу! Тут мне давали ссылку на вариант Бейсика. Я по ссылке посмотрела, там всё по-английски написано. Ну, кажется, объясняются некоторые функции. Это можно вникнуть и разобраться, что к чему. Хотя дополнительные функции мне и не нужны. А что с интерпретатором?
Нужен новый интерпретатор, а не тот, который у меня? У меня интерпретатор QBASIC.
Сильно ли отличается по быстродействию это вариант Бейсика от того, который работает у меня?

Там же была сслыка на интерпретатор UBASIC. Быстродействие у него должно быть гораздо лучше QBASIC, так как он предназначен для научных расчётов. Кроме того, он лишен таких проблем как целочисленное переполнение, так как "из коробки" поддерживает длинную арифметику.

Цитата:

Вы вот говорите, что 70-летнего человека обучили основам какого-то языка. Так ведь я тоже могла бы обучиться другому языку, да учителя нет. Есть один виртуальный учитель, он меня очень многому научил.

Ну для начала надо скачать и установить программу. См. ссылку на PARI/GP выше. Кликаете там на Download и выбираете вариант для своей операционной системы (у вас, наверное, Windows). Как это сделаете - пойдем дальше.

[juna]

Прошу прощения за оффтопик. Вот здесь интересная идея высказывалась. Может уже настало время тематического монолога в соответствующем разделе форума. Например, я бы с удовольствием почитал обзор и разбор примеров специалиста пакета PARI/GP.

[maxal]

juna, хорошая идея. Мне на самом деле тоже подумалось, что надо просто расписать азы программирования на PARI/GP в отдельной теме, чтобы человек потом при желании мог легко двинуться дальше. Где-нибудь через недельку постараюсь дать обзорную лекцию.

[Nataly-Mak]

Бьюсь над задачей построения идеальных квадратов порядка n=4k, кроме порядка n=8,
а также тех квадратов, которые можно построить на базе идеального квадрата восьмого
порядка.
Долго выполняла программу для квадратов 12-ого порядка, составленную для той
схемы, по которой построен идеальный квадрат восьмого порядка. Так и не выполнила
её до конца, а в какой-то момент глянула на все получающиеся по программе квадраты
и увидела, что наборы чисел в строках во всех квадратах одинаковы! И значит, нечего
больше здесь искать, идеальных квадратов не будет. Это было ясно уже по двум частным
решениям, которые я построила без программы (одно из них приведено выше). Всё это
только псевдоидеальные квадраты. То же самое получается и для квадратов 16-ого
порядка, построенных по этой схеме.
Далее я вывела формулу для суммы чисел в первом столбце для всех частных решений
в общем виде, то есть для любого порядка n.
Вот эта формула: S=(n^3+2n-8)/2
И эта сумма должна равняться магической константе квадрата. Таким образом, получаем
уравнение: S=(n^3+2n-8)/2=(n^3+n)/2
которое имеет одно единственное решение: n=8.
Следовательно, по данной схеме строится только квадрат 8-ого порядка.
Если идеальные квадраты порядка n=4k (кроме указанных выше порядков) существуют,
то они строятся по другому алгоритму.
Ставлю задачу: построить идеальные квадраты порядков (для начала): 12, 16, 20, 24,
или доказать, что таких квадратов не существует.
Может быть, в Сети есть решение этой задачи? Сообщите, пожалуйста, если кто найдёт.
Попыталась построить идеальный квадрат 16-ого порядка по алгоритму Франклина
для его пандиагонального квадрата 16-ого порядка. Тоже не получается идеальный
квадрат. Составила программку, пытаясь так подобрать начальную цепочку, чтобы
квадрат был ещё и ассоциативным. Программа не нашла ни одного решения.
С отчаяния построила идеальный квадрат 64-ого порядка (разумеется, составной).
Смотрите его здесь.
***
Kilobok, я всё скачала, как ты сказал, но у меня ничего не получилось.
Написала два письма. Где ответ?
С нетерпением жду обзорную лекцию по новому языку. Сообщите, пожалуйста,
в каком это будет разделе. Может, и освою…
Maxal, как идут дела с поиском би-магического квадрата 5-ого порядка? Интересно!
А вы заметили, что би-магические квадраты, приведённые по указанной здесь ссылке, ассоциативны (6-ого и 9-ого порядка). А вы ищете ассоциативный квадрат?
Ведь если искать ассоциативный квадрат, то размерность системы значительно уменьшится.

[нг]

Nataly-Mak
Для переписки (например с kilobok) более уместны личные сообщения (ЛС, http://dxdy.ru/templates/subSilver/images/lang_russian/icon_pm.gif)

[Nataly-Mak]

Учту Ваше замечание. Да я и написала ему личное сообщение и в домашний ящик написала, но он ответил не сразу. Поэтому и появилась эта реплика в моём сообщении. А нельзя ли замечания тоже делать в личных сообщениях? Здесь мне уже столько замечаний сделано, что другой на моём месте давно сбежал бы отсюда. Захожу на форум, чтобы увидеть интересные сообщения по теме, а вижу больше замечания.
***
Давно размышляла над тем, чем же так интересны полумагические квадраты Франклина. И, наконец, при пристальном рассмотрении увидела, что они не просто полумагические, а дьявольски полумагические (это я их так назвала). Дело в том, что они остаются такими же полумагтческими (с теми же суммами по главным диагоналям) при параллельном переносе на торе. Мне известны дьявольски полумагические квадраты Франклина порядков 8, 16 и 32.
В этой статье
http://www.dubovskoy.net/MAGIC/magic%20SQ.doc
полумагический квадрат 16-ого порядка почему-то называют магическим.
А здесь
http://www.spiritoftime.net/Lukoyanov-1.htm
полумагический квадрат 32-ого порядка называют магическим и пандиагональным (?).
В своей статье “Квадраты Франклина” я применила к алгоритму Франклина метод качелей. Мне удалось построить этим методом магические и даже пандиагональные квадраты 8-ого порядка, полумагические квадраты 12-ого порядка, магические квадраты 16-ого, 24-ого и 32-ого порядка, то есть значительно пополнить семейство квадратов Франклина.
Вчера, рассматривая со всех сторон псевдоидеальный квадрат 12-ого порядка, я получила из него дьявольски полумагический квадрат. Вот он:

1  48  61  96  109  132  133  108  73  60  25  24
143  98  83  50  35  14  11  38  71  86  119  122
4  45  64  93  112  129  136  105  76  57  28  21
142  99  82  51  34  15  10  39  70  87  118  123
6  43  66  91  114  127  138  103  78  55  30  19
140  101  80  53  32  17  8  41  68  89  116  125
5  44  65  92  113  128  137  104  77  56  29  20
139  102  79  54  31  18  7  42  67  90  115  126
3  46  63  94  111  130  135  106  75  58  27  22
141  100  81  52  33  16  9  40  69  88  117  124
2  47  62  95  110  131  134  107  74  59  26  23
144  97  84  49  36  13  12  37  72  85  120  121

В этом квадрате другая схема построения, отличная от схемы Франклина. Точно так же получила дьявольски полумагический квадрат 16-ого порядка из псевдоидеального.
Теперь можно попробовать построить аналогичным способом квадраты порядков n=4k, k=5,6,7…, то есть найти аналогичные частные решения. Дьявольски полумагический квадрат 8-ого порядка тоже должен получиться из идеального (ещё не проверила, может быть, получится магический или пандиагональный).

Пандиагональный квадрат 8-ого порядка получается из магического квадрата, построенного по схеме Франклина, простой перестановкой строк. А вот превратить магический квадрат 16-ого порядка в пандиагональный тоже перестановкой строк мне не удалось (моя программа перестановки строк надолго “задумывается”). Может быть, кому-нибудь удастся это сделать. Подробности смотрите в статье “Квадраты Франклина, Френикля и Агриппа”.

[нг]

Nataly-Mak
Строгое замечание за обсуждение действий модератора в тематическом разделе.

Настойчиво рекомендую перечитать правила.

Есть предложения, не согласны — всегда можно послать ЛС. Или открыть тему в разделе «Работа форума».

Ход Ваших мыслей мне чем-то импонирует: нарушаете Вы правила и мусорите на форуме прилюдно, а останавливать Вас следует максимально щадя Ваше самолюбие.

[kilobok]

Я связался с Г.А., объяснил суть. Он ответил, что задача непременно имеет решения для всех n=4k (k=2,3,...). Ему просто нужно время, чтобы найти общий метод построения ультрамагических (или идеальных) квадратов. К сожалению для науки, его жизнь настолько сейчас благодатна, что лень даже думать. Это я цитирую часть присланного мне письма. Я спросил его - когда, мол, ожидать идеальный 12х12 ? Он обещал через 2-3 месяца получить положительный результат. Ждем, значит...