Бинарная операция на сфере

[lofar]

Macavity писал(а):

...возникает следующий вопрос - на самом деле в полугруппе может быть несколько идемпотентов и каждый является тривиальной подгруппой (и следовательно полугруппой). Исходя из Вашего доказательства как я понимаю - только один.

Идемпотентов может быть несколько. Лемма Цорна утверждает, что минимальная подполугруппа существует (и тогда она тривиальна), при этом не заявляется, что эта подполугруппа единственна.

Macavity писал(а):

Что касается "паразитных алгебраико-топологические аллюзий" - интересно, что конкретно Вы подразумеваете?

На сферах четной размерности нельзя задать непрерывного касательного векторнго поля, не равного $0$ ни в одной точке (для $S^2$ этот факт часто называют "теоремой о еже"). Отсюда, например, следует, что для любого непрерывного отображения $f\colon S^{2n}\to S^{2n}$ найдется или неподвижная точка или, такая точка $x$, что $f(x)$ и $x$ антиподальны. Идемпотент --- неподвижная точка отображения $x\mapsto x^2$, отсюда и аллюзии.

[Macavity]

lofar писал(а):

Macavity писал(а):

...возникает следующий вопрос - на самом деле в полугруппе может быть несколько идемпотентов и каждый является тривиальной подгруппой (и следовательно полугруппой). Исходя из Вашего доказательства как я понимаю - только один.

Идемпотентов может быть несколько. Лемма Цорна утверждает, что минимальная подполугруппа существует (и тогда она тривиальна), при этом не заявляется, что эта подполугруппа единственна.

Macavity писал(а):

Что касается "паразитных алгебраико-топологические аллюзий" - интересно, что конкретно Вы подразумеваете?

На сферах четной размерности нельзя задать непрерывного касательного векторнго поля, не равного $0$ ни в одной точке (для $S^2$ этот факт часто называют "теоремой о еже"). Отсюда, например, следует, что для любого непрерывного отображения $f\colon S^{2n}\to S^{2n}$ найдется или неподвижная точка или, такая точка $x$, что $f(x)$ и $x$ антиподальны. Идемпотент --- неподвижная точка отображения $x\mapsto x^2$, отсюда и аллюзии.

Вот и у меня возникли сходные "алгебраико-топологические аллюзии", связанные с теоремой Пуанкаре об индексе. Соответственно я пытался понять (но так и не понял - запутался в аллюзиях) насколько корректна постановка этой задачи, например на торе, где можно построить гладкое векторное поле без неподвижных точек.