Бинарная операция на сфере

[Профессор Снэйп]

Вот, кстати, нашёл по поисковику:

Цитата:

Как известно компактность есть топологическое обобщение конечности.
Так вот есть следующая теорема:
Если у нас есть левая (правая) топологическая полугруппа
т.е. полугруппа с топологической структурой, где левые (правые) сдвиги непрерывны и к тому же она компактна, то в ней всегда существует идепотент.
Доказательство очень простое.

Теперь применив эту теорему для случая конечной полугруппы с дискретной топологией мы отвечаем на поставленный вопрос.
Кто заинтересуется, могу скинуть статью на эту тему:

V. Bergelson, H. Furstenberg, N. Hindman and Y.
Katzenelson, {\it An algebric proof of van der Waerdan's theorem},
L'Ensiegnement Mth`ematique, t. 35, 1989, p. 209-215

См. ссылку.

Хаусдорфовость почему-то не упоминается. А зря, совершенно зря!!! Возьмём полугруппу положительных целых чисел по сложению и слабейшую топологию на ней (открытые множества --- только $\varnothing$ и все положительные целые). Компактность есть, непрерывность по любому аргументу тоже есть. Идемпотента нету!

Хотя на самом деле хаусдорфовость тут наверное слишком сильное свойство. Для доказательства достаточно, чтобы все компактные подмножества были замкнутыми. Это какое пространство получается --- $T_1$ вроде бы? А хаусдорфово --- это, кажется, $T_2$? Давно всё это сдавал, не помню уже

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Хотя на самом деле хаусдорфовость тут наверное слишком сильное свойство. Для доказательства достаточно, чтобы все компактные подмножества были замкнутыми. Это какое пространство получается --- $T_1$ вроде бы? А хаусдорфово --- это, кажется, $T_2$? Давно всё это сдавал, не помню уже :(

Хаусдорфово - это $T_2$. А $T_1$ означает, что все одноточечные подмножества замкнуты (следовательно, и все конечные тоже).

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Хаусдорфово - это $T_2$. А $T_1$ означает, что все одноточечные подмножества замкнуты (следовательно, и все конечные тоже).

Ага. А замкнутые --- это дополнения к открытым. То есть $T_1$ --- это когда для любой пары точек $A \neq B$ найдётся окрестность $A$, не содержащая $B$.

А $T_2$, если не ошибаюсь --- это когда для любой пары различных точек найдутся их непересекающиеся окрестности.

Замкнутое подмножество компакта --- компакт. Это ваще очевидно и выполняется в любом топологическом пространстве.

А вот в каких пространствах все компактные подмножества замкнуты? В $T_1$ или в $T_2$? $T_2$ явно достаточно, а $T_1$, очевидно, необходимо. Будет ли $T_1$ также и достаточным условием? Похоже, что нет...

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Ага. А замкнутые --- это дополнения к открытым. То есть $T_1$ --- это когда для любой пары точек $A \neq B$ найдётся окрестность $A$, не содержащая $B$.

Если пару точек $A,B$ считать упорядоченной, то можно и так. А вообще, обычно говорят "для любых двух различных точек существует окрестность каждой из них, не содержащая другую".

Профессор Снэйп писал(а):

А $T_2$, если не ошибаюсь --- это когда для любой пары различных точек найдутся их непересекающиеся окрестности.

Да.

Профессор Снэйп писал(а):

Замкнутое подмножество компакта --- компакт. Это ваще очевидно и выполняется в любом топологическом пространстве.

А вот в каких пространствах все компактные подмножества замкнуты? В $T_1$ или в $T_2$? $T_2$ явно достаточно, а $T_1$, очевидно, необходимо. Будет ли $T_1$ также и достаточным условием? Похоже, что нет...

Нет, $T_1$ недостаточно; а хаусдорфовость не является необходимой.

1) Бесконечное множество $X$ с топологией, в которой замкнуты всё $X$ и все конечные подмножества, даёт пример $T_1$-пространства, в котором все подмножества компактны, но не все замкнуты.
2) Множество рациональных чисел $\mathbb Q$ с топологией, в которой замкнуты всё $\mathbb Q$ и все компактные (в стандартной топологии) подмножества, даёт пример нехаусдорфова пространства, в котором все компактные подмножества замкнуты (на компактных подмножествах, кстати, сохраняется исходная топология).

[Macavity]

Macavity писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Это которая вот эта?

Да, о неподвижной точке...

Я все-таки напиши, какие у меня возникают ассоциации между этой задачей и теоремой Брауера (более точно - теоремой о неподвижной точке).

Ссылка Профессора Снэйпа на Википедию:

Цитата:

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

На самом деле это самая простая формулировка теоремы Брауера, дело в том что теоремы о неподвижной точке обычно относяися к разряду фундаментальных и они или их аналоги присутствуют присутствуют в различных разделах математики.
Например, в математической логике существует аналог теоремы о неподвижной точке (называется диагональная лемма). Именно благодаря этой лемме Гедель доказал одну из своих знаменитых теорем.

Сущестуют также, обобщения теоремы Брауера, например, теорема Тихонова о неподвижной точке в локально выпуклом топологическом векторном простанстве.Утверждается, что дальше всех в обобщениях пошел Лифшиц, его теорема о неподвижной точке применяется в (почти) произвольных топологических пространствах, а условия существования неподвижной точки дается в терминах сингулярной гомологии.

Рассмотрим пространство G и пусть на нем задана полугруппа $\mathfrak{G}$

$\forall a \in \mathfrak{G} \forall b \in \mathfrak{G} \exists c \in \mathfrak{G} (g(a,b)=c) $

Далее для некоторого фиксированного a операцию полугруппы запишем в виде функции f_a(x).
Так что f_a(x)=g(a,x)

Если теорема о неподвижной точки выполняется в данном пространстве, то это означает, что для каждого a существует некоторый x, очевидно, зависящий от a, что справедливо: f_a(x)=x.

Или можно записать в кванторах:
$\forall a \in \mathfrak{G} \exists x(a) \in \mathfrak{G} (f_a(x(a))=x(a)) $

Это, кстати, означает, что если в пространстве с полугруппой выполняется теорема о неподвижной точке, то каждый элемент полугруппы является "локальной единицей", для некоторого другого элемента полугруппы (что, видимо, неверно для конечных полугрупп).

Замечу, что задача об идемпотенте тоже может быть записана в кванторах:
$ \exists a \in \mathfrak{G} (f_a(a)=a) $

Можно заметить, что условие выписанное в кванторах выше является более общим, но вероятно из него не следует истинность того, что надо доказать (хотя, возможно, и теорема о неподвижной точке и наличие идемпотента у непрерывной полугруппы требует одинаковых исходных пространств).

К сожалению, я, видимо, что-то упустил, потому что так и не увидел, что у исходной задачи

Цитата:

Доказательство очень простое.

[Профессор Снэйп]

Macavity писал(а):

К сожалению, я, видимо, что-то упустил, потому что так и не увидел, что у исходной задачи

Цитата:

Доказательство очень простое.

Оно действительно не шибко сложное. Я когда-то, ещё будучи на втором курсе, самостоятельно его нашёл.

В связи с комментариями Someone, относящимися к классификации топологических пространств, сформулирую задачу в следующем виде:

Пусть $G$ --- компактная полугруппа с операцией, непрерывной по одному из аргументов, и каждая компактная подполугруппа в $G$ является замкнутой. Доказать, что $G$ содержит идемпотент.

[lofar]

Профессор Снэйп писал(а):

Пусть $G$ --- компактная полугруппа с операцией, непрерывной по одному из аргументов, и каждая компактная подполугруппа в $G$ является замкнутой. Доказать, что $G$ содержит идемпотент.

Предлагаю доказательство при дополнительном требовании, что $G$ удовлетворяет условию отделимости $T_1$. Считаем, что умножение непрерывно слева.

Множество замкнутых подполугрупп $G$ индуктивно относительно отношения $\supseteq$ (в качестве нижней грани цепи берем пересечение элементов цепи, оно не пусто так как пересечение вложенных непустых компактов не пусто). По лемме Цорна найдется минимальная замкнутая подполугруппа $L$. Возьмем $a\in L$, тогда $aL$ --- замкнутая подполугруппа $L$ (используем непрерывность), значит, в виду минимальности $L$, имеем $aL=L$. Положим $K=\{x\in L\colon ax=a\}$. $K$ не пусто, так как $aL=L$. $K$ замкнуто относительно умножения. $K$ --- замкнутое подмножество $L$ (здесь используется $T_1$). Значит $K$ --- замкнутая подполугруппа $L$. Поэтому $K=L$ и $a^2=a$.

P. S. В последней формулировке задача действительно простая (По модулю $T_1$. Профессор Снэйп, Вы точно можете обойтись замкнутостью компактных подполугрупп?). Найти доказательство при $G=S^2$ много труднее --- возникают паразитные алгебраико-топологические аллюзии. Если имеется особое желание помучить решающих можно использовать $S^{2n}$ :-)

[Скорцонер]

Исходную задачу про сферу можно доказывать таким путем.
Зафиксируем точку $a$ на сфере. Тогда для каждой точки сферы $b$ заданная бинарная операция определяет точку $c = a*b$.
Направление дуги $\widehat{bc}$ , взятое по большому кругу, определяет в каждой точке $b$ некоторое векторное поле $r(b) $. При этом длину $|r(b)| $вектора в точке $b$ считаем равной $\min(\phi, 2\pi -\phi) $, где$ \phi$ - угловая мера дуги $\widehat{bc}$.
Согласно «теореме о еже», непрерывное векторное поле на сфере «нельзя причесать гладко», т.е. найдется точка $b=b(a) $, в которой поле равно нулю. Т.е. имеет место равенство $a*b(a)=b(a) $. Пара точек $a $ и $b(a) $ снова задают на сфере непрерывное векторное поле. Еще раз применяя «теорему о еже», найдем, что существует точка $a$, для которой $a=b(a) $, т.е. имеет место равенство $a=a*a$, что и требовалось.
Возможно, что имеется пробел в доказательстве, т.к. ассоциативность вроде бы снова оказалась не при чем.

[lofar]

Скорцонер писал(а):

Направление дуги $\widehat{bc}$ , взятое по большому кругу, определяет в каждой точке $b$ некоторое векторное поле $r(b) $.

Точки $b$ и $c$ могут оказаться антиподальными. В этом случае соединяющая их дуга определена неоднозначно и $r(b)$ не определено.

[Macavity]

Скорцонер писал(а):

Согласно «теореме о еже», непрерывное векторное поле на сфере «нельзя причесать гладко»,

Википедия:

Цитата:

Теорема о причёсывании ежа утверждает, что не существует непрерывного касательного векторного поля на сфере которое нигде не обращается в ноль. Иначе говоря, если f — непрерывная функция, задающая касательный к сфере вектор в каждой её точке, то существует хотя бы одна точка p такая, что f(p) = 0.

Теорема является простым следствием из теоремы о неподвижной точке, доказанной в 1912 году Брауэром .

[Скорцонер]

To LOFAR.
Для некоторой пары точек $ b,c$ выбираем направление вектора от $b$ к $c$ по часовой стрелке, если смотреть из точки $a$. То же направление выбираем для любой точки $b_1$, которую можно соединить с точкой $b$ непрерывной кривой $b(t) $, такой, что на всем протяжении кривой дуга большого круга $\widehat{b(t), c(t)} $ не пересекает точку $ a $. Если же пересекает, то направление вектора от $b$ к $c$ принимаем против часовой стрелки.
Возможно, что надо строже доказать следующее:
Если имеется непрерывное отображение сферы на себя, то ему можно сопоставить непрерывное векторное поле, которое обращается в нуль в тех и только тех точках, которые переводятся этим отображением в себя.
Но, по-моему, это так.

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

Предлагаю доказательство при дополнительном требовании, что $G$ удовлетворяет условию отделимости $T_1$...

P. S. В последней формулировке задача действительно простая (По модулю $T_1$. Профессор Снэйп, Вы точно можете обойтись замкнутостью компактных подполугрупп?).

Да, конечно, $T_1$ нужно требовать. Моё собственное решение в точности такое же, как и у Вас. Извиняюсь за недосмотр. Просто когда писалось условие, то вместо "компактные подполугруппы" вначале стояло "компактные подмножества", а в этом случае $T_1$ выполняется автоматически. Чуть позднее мне пришло в голову, что можно заменить "подмножества" на "подполугруппы", поскольку, по сути, только они и используются. Но я не заметил, что приходится брать прообраз от одноэлементного множества, про которое на тот момент ещё не доказано, что оно является подполугруппой.

lofar писал(а):

Найти доказательство при $G=S^2$ много труднее --- возникают паразитные алгебраико-топологические аллюзии. Если имеется особое желание помучить решающих можно использовать $S^{2n}$

Ну, я ещё не очень опытный составитель задач До $S^{2n}$ не додумался

Кстати, насчёт "паразитных аллюзий": TOTAL ведь нашёл непредусмотренное решение, годное для случая, когда пространство метрическое и операция непрерывна по обоим аргументам. Несмотря на меньшую общность его, вероятно, всё же следует признать более коротким и простым.

Но зато общее решение красивее. Мне очень нравится идея применять лемму Цорна для доказательства существования минимальных элементов. Обычно максимальные ищут. Понятно, что принципиальной разницы нет никакой, но мало кому в голову приходит.

P. S. И всё же интересно. Если действительно брать сферу $S^2$ и требовать непрерывность операции по обоим аргументам, то можно ли отказаться от ассоциативности?

Скорцонер писал(а):

Возможно, что надо строже доказать следующее:
Если имеется непрерывное отображение сферы на себя, то ему можно сопоставить непрерывное векторное поле, которое обращается в нуль в тех и только тех точках, которые переводятся этим отображением в себя.

Но, по-моему, это так.

Не уверен в том, что это так. С антиподальными точками действительно непонятно, что делать. Но если Вы всё же сможете это доказать, то было бы интересно взглянуть на доказательство.

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Скорцонер писал(а):

Возможно, что надо строже доказать следующее:
Если имеется непрерывное отображение сферы на себя, то ему можно сопоставить непрерывное векторное поле, которое обращается в нуль в тех и только тех точках, которые переводятся этим отображением в себя.

Но, по-моему, это так.

Не уверен в том, что это так. С антиподальными точками действительно непонятно, что делать. Но если Вы всё же сможете это доказать, то было бы интересно взглянуть на доказательство.

Например, можно рассмотреть отображение, которое каждую точку сферы переводит в её антипода.

[lofar]

Скорцонер писал(а):

Для некоторой пары точек $ b,c$ выбираем направление вектора от $b$ к $c$ по часовой стрелке...

Простите, не понял. Фиксировав $a$ получили непрерывное отображение сферы в себя: $b\mapsto ab$. Если $b$ и $c=ab$ оказались антиподальными, то существует много больших кругов проходящих через $b$ и $c$. Какой из них выбрать для построения касательного вектора? Напомню, что поле векторов должно быть непрерывным.

Профессор Снэйп писал(а):

Но зато общее решение красивее.

Сама задача в общей постановке очень красива. Все условия сыграли свою роль. Даже общая ассоциативность потребовалась (сначала казалось, что хватит ассоциативности степеней).

Профессор Снэйп писал(а):

Если действительно брать сферу $S^2$ и требовать непрерывность операции по обоим аргументам, то можно ли отказаться от ассоциативности?

Пусть $a\mapsto a^*$ --- антиподальное отображение. Положим по определению $ab = b^*$. В получившемся группоиде идемпотентов нет.

Интересно, достаточно ли ассоциативности степеней? В связи с этим вопросом хотелось бы знать верно ли, что для всякого непрерывного отображения $f$ сферы в себя найдется точка $x$, имеющая конечную траекторию? (Траектория --- множество $\{x,f(x),f^2(x),\ldots\}$)

[Macavity]

lofar писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Пусть $G$ --- компактная полугруппа с операцией, непрерывной по одному из аргументов, и каждая компактная подполугруппа в $G$ является замкнутой. Доказать, что $G$ содержит идемпотент.

Предлагаю доказательство при дополнительном требовании, что $G$ удовлетворяет условию отделимости $T_1$. Считаем, что умножение непрерывно слева.

Множество замкнутых подполугрупп $G$ индуктивно относительно отношения $\supseteq$ (в качестве нижней грани цепи берем пересечение элементов цепи, оно не пусто так как пересечение вложенных непустых компактов не пусто). По лемме Цорна найдется минимальная замкнутая подполугруппа $L$. Возьмем $a\in L$, тогда $aL$ --- замкнутая подполугруппа $L$ (используем непрерывность), значит, в виду минимальности $L$, имеем $aL=L$. Положим $K=\{x\in L\colon ax=a\}$. $K$ не пусто, так как $aL=L$. $K$ замкнуто относительно умножения. $K$ --- замкнутое подмножество $L$ (здесь используется $T_1$). Значит $K$ --- замкнутая подполугруппа $L$. Поэтому $K=L$ и $a^2=a$.

P. S. В последней формулировке задача действительно простая (По модулю $T_1$. Профессор Снэйп, Вы точно можете обойтись замкнутостью компактных подполугрупп?). Найти доказательство при $G=S^2$ много труднее --- возникают паразитные алгебраико-топологические аллюзии. Если имеется особое желание помучить решающих можно использовать $S^{2n}$

lofar
Вот что непонятно. Если постфактум рассматривать минимальную замкнутую подполугруппу $L$, то в силу доказанного, что $a$ - идемпотент, то следует вывод, что {$a$}, ещё и минимальная полугруппа, являющаяся тривиальной группой и $a$ - единица группы). Возможно я что-то путаю с точки зрения топологии, тогда, пожалуйста поясните. Но если нет, то возникает следующий вопрос - на самом деле в полугруппе может быть несколько идемпотентов и каждый является тривиальной подгруппой (и следовательно полугруппой). Исходя из Вашего доказательства как я понимаю - только один. Это связано с топологическими особенностями задачи?
Что касается "паразитных алгебраико-топологические аллюзий" - интересно, что конкретно Вы подразумеваете?