Подсказка Ферма.Доказательство част.случая ВТФ:соседние кубы

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! Пока не ясно как " внутренний механизм трансформаций в кубе" связан с ВТФ.

[PhisicBGA]

vasili писал(а):

Пока не ясно как " внутренний механизм трансформаций в кубе" связан с ВТФ.

Хорошо,по этой части вопроса-понятно,а что с первой частью моего вопроса?Может ответ на него прояснит и связь механизма трансформаций (т.е разложений) куба с ВТФ, которая и описывает это свойство степеней целых чисел ,в том числе и куба, возникающее при попытке их разложить на два целых числа той же степени.Смею напомнить,что именно о разложении идёт речь в настоящей формулировке ВТФ самого Пьера Ферма.

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! 1.Если уйти от физической интерпретации, то в основе Ваших размышлений лежит следующее:
Каждое нечетное натуральное число x состоит из двух чисел u и v таких что:
$u + v = x$,

$u - v = 1$, ( u > v для определенности)

$x^3 + 3x = 4 (u^3 + v^3)$ - тождество.

2. Ошибочно считать, что аддитивное разложение куба $x^3$, приведет к двум другим кубам, удовлетворяющим уравнению ВТФ.

[PhisicBGA]

vasili писал(а):

Если уйти от физической интерпретации, то в основе Ваших размышлений лежит следующее:
Каждое нечетное натуральное число x состоит из двух чисел u и v таких что:
$u + v = x$,

$u - v = 1$, ( u > v для определенности)

$x^3 + 3x = 4 (u^3 + v^3)$ - тождество.

2. Ошибочно считать, что аддитивное разложение куба $x^3$, приведет к двум другим кубам, удовлетворяющим уравнению ВТФ.

Уважаемый vasili!Я правильно понял,что это перевод моих размышлений с физического языка на математический?
Если это так то ,что из этого следует?Если можно,по - подробнее - мне ,правда, интересно.

[PhisicBGA]

Поздравляю всех участников форума с большим мужским праздником!Желаю Вам всем конечно же крепкого здоровья,а мужчинам - обладания всеми настоящими мужскими качествами.
Хотел поделиться с Вами ещё одним интересным фактом: константа B запрещает быть кубом не только разности кубов соседних целых чисел,но и и сумме кубов соседних целых чисел.
Рассмотрим $x^3 = (2a+1)^3$.Константа B для него будет:

$$ B = \operatorname{const} = \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{(a+1)^3 + a^3 - (2a+1)}= 4 .(1) $$

Предположим, что $(a+1)^3 + a^3 = (2c +1)^3$ .Подставим это значение в (1):

$$ \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{(2c+1)^3 - (2a+1)}= 4 .(1) $$

Но константа B так же справедлива и для $(2c +1)^3$:

$$ B = \operatorname{const} = \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3 + c^3 - (2c+1)}= 4 .(2) $$

Или

$$(2c+1)^3 = 4[(c+1)^3 + c^3] - 3(2c+1) .(2) $$

.Подставим равенство (2) в (1) получим:

$$ \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{4(c+1)^3 +4c^3 -3(2c+1) - (2a+1)}= 4 .(3) $$

После преобразований получаем:

$$ \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{4[(c+1)^3 +c^3 -1] -2(3c+a) }= 4 .(3) $$

Умножим обе части равенства на 2:

$$ \frac{(2a+1)^3 - (2a+1)}{2[(c+1)^3 +c^3 -1] - (3c+a) }= 8 .(3) $$

Распишем числитель в левой части этого равенства:$(2a+1)^3- (2a+1) = 4(2a+1)a(a+1) $
Отсюда видно,что выполнение равенства (3) возможно в двух случаях:
1.Когда $a=2a_{1}$.
2.Когда $ (a + 1 ) = 2a_{1}$.


Рассмотрим сначала первый случай.
Пусть $a=2a_{1}$. Тогда должно быть $c=2c_{1}$.Подставим все это в (3):

$$ \frac{(4)(2)(4a_{1}+1)a_{1}(2a_{1}+1)}{2[(2c_{1}+1)^3 +(2c_{1})^3 -1] - 2(3c_{1}+a_{!}) }= 8 .(3) $$

Выносим в знаменателе двойку и сокращаем её с двойкой в числителе.Получаем :

$$ \frac{(4)(4a_{1}+1)a_{1}(2a_{1}+1)}{[(2c_{1}+1)^3 +(2c_{1})^3 -1] - (3c_{1}+a_{!}) }= 8 .(3) $$

Опять мы вынуждены повторить предыдущую процедуру,чтобы удовлетворить равенство (3):
Пусть $a_{1}=2a_{2}$. Тогда должно быть $c_{1}=2c_{2}$.Подставим все это в (3):

$$ \frac{(4)(2)(8a_{2}+1)a_{2}(4a_{2}+1)}{[(4c_{2}+1)^3 +(4c_{2})^3 -1] - 2(3c_{2}+a_{2}) }= 8 .(3) $$

Замечаем,что что первый член знаменателя левой части равенства будет чётным и мы снова сможем вынести 2 и сократить её с 2 в числителе.Нам приходиться снова предполагать, что $a_{2}=2a_{3}$. Тогда должно быть $c_{2}=2c_{3}$,если первый член знаменателя после выноса двойки будет чётным.(Если он будет не чётным,то этот процесс можно прекратить поскольку в левой части равенства будет несократимая дробь).Следовательно,
первый случай приводит нас к тому самому фирменному методу Пьера Ферма - бесконечному спуску.
Честно говоря, этот пресловутый бесконечный спуск я очень недолюбливаю и надеялся что доказательство обойдётся без него.Но, он всё таки вылез.Жаль,с разностью было красивее.
Осталось рассмотреть второй случай,но я ,что -то притомился. Давайте это сделаем в следующий раз,если проверка не покажет ошибку.

[venco]

PhisicBGA в сообщении #1101549 писал(а):

Пусть $a=2a_{1}$. Тогда должно быть $c=2c_{1}$.

Почему?

[PhisicBGA]

venco писал(а):

Пусть $a=2a_{1}$. Тогда должно быть $c=2c_{1}$.Почему?

Если $c=2c_{1} +1$,то в равенстве

$$ \frac{(2a+1)^3 - (2a+1)}{2[(c+1)^3 +c^3 -1] - (3c+a) }= 8 .(3) $$

левая часть будет несократимой дробью,поскольку числитель $(2a+1)^3- (2a+1) = 4(2a+1)a(a+1) $,а первый член знаменателя - чётный.

[venco]

PhisicBGA в сообщении #1101558 писал(а):

venco писал(а):

Пусть $a=2a_{1}$. Тогда должно быть $c=2c_{1}$.Почему?

Если $c=2c_{1} +1$,то в равенстве

$$ \frac{(2a+1)^3 - (2a+1)}{2[(c+1)^3 +c^3 -1] - (3c+a) }= 8 .(3) $$

левая часть будет несократимой дробью,поскольку числитель $(2a+1)^3- (2a+1) = 4(2a+1)a(a+1) $,а первый член знаменателя - чётный.

Несократимой на 2, но это и не нужно, т.к. справа 8.

[PhisicBGA]

venco писал(а):

Несократимой на 2, но это и не нужно, т.к. справа 8.

Я понял.Подумаю.Спасибо за замечание.

[PhisicBGA]

Да,этого и следовало ожидать : игра в "бирюльки" с множителями ни когда ни к чему толковому ни приводила и не приведёт.Это лишний раз подтверждает , что необходимо строго следовать подсказке великого Ферма.
Будем раскладывать ! Хотелось ,бы сразу предупредить, что эта "штука",которая получается в результате сложения кубов соседних чисел - $(2a+1)a(a+1)$ - имеет большую прочность. Благодаря красивому и надежному механизму крепления ,кубы соседних целых чисел входят друг в друга легко и надёжно,образуя монолитную структуру.Поэтому следует запастись терпением и хорошими инструментами. Ну,это так...лирико-физическое отступление. Приступим !
Пусть сумма кубов двух соседних целых чисел $(a+1)$ и $ a $ будет равна кубу некоторого целого нечётного числа $(2c+1)$ т.е.

$$(a+1)^3 + a^3 = (2c+1)^3 . (1)$$

Распишем равенство (1):

$$(2a+1)a(a+1) + 2a +1 = 4(2c+1)c(c+1) + 2c +1$$

Или

$$(2a+1)a(a+1) + 2(a -c) = 4(2c+1)c(c+1) .(1)$$

Поскольку $ a >c $ мы можем положить $ a = c +n $ , где $ n<c $-целое число.Тогда равенство (1) будет:

$$[(2c+1)+n](c+n)[(c+1)+n] + 2n = 4(2c+1)c(c+1) .(2)$$

Начнём равенство (2) преобразовывать:

$$[(2c+1)c +(2c+1)n + 2nc+2n^2][(c+1)+n] + 2n = 4(2c+1)c(c+1) .(2)$$

$$[(2c+1)c (c+1)+(2c+1)n(c+1) + 2nc(c+1)+2(c+1)n^2] + $$

$$ +[(2c+1)cn+(2c+1)n^2 +2cn^2+2n^3] + 2n = 4(2c+1)c(c+1) .(3)$$

Вычтем подобный член,получившийся в левой части, из правой . Получим :

$$[(2c+1)n(c+1) + 2nc(c+1)+2(c+1)n^2] + $$

$$ +[(2c+1)cn+(2c+1)n^2 +2cn^2+2n^3] + 2n = 3(2c+1)c(c+1) .(4)$$

Поскольку $ n<c $ положим $ n = c - d $,где $ d<c $- целое число.
Подставим в равенство (4) и получим:

$$[(2c+1)(c-d)(c+1) + 2(c-d)c(c+1)+2(c+1)(c-d)^2] + $$

$$ +[(2c+1)c(c-d)+(2c+1)(c-n)^2 +2c(c-d)^2+2(c-d)^3] + 2(c-d) = 3(2c+1)c(c+1) .(4)$$

Замечаем $(2c+1)(c-n)^2 +2c(c-d)^2 = (4c+1)(c-d)^2$. Подставим в (4):

$$[(2c+1)(c-d)(c+1) + 2(c-d)c(c+1)+2(c+1)(c-d)^2] + $$

$$ +[(2c+1)c(c-d)+(4c+1)(c-n)^2+2(c-d)^3] + 2(c-d) = 3(2c+1)c(c+1) .(4)$$

Преобразуем первый член в (4) и получим:

$$[(2c+1)c(c+1) - (2c+1)(c+1)d+ 2(c-d)c(c+1)+2(c+1)(c-d)^2] + $$

$$ +[(2c+1)c(c-d)+(4c+1)(c-n)^2+2(c-d)^3] + 2(c-d) = 3(2c+1)c(c+1) .(4)$$

Вычтем подобный член,получившийся в левой части, из правой . Получим :

$$[ - (2c+1)(c+1)d+ 2(c-d)c(c+1)+2(c+1)(c-d)^2] + $$

$$ +[(2c+1)c(c-d)+(4c+1)(c-n)^2+2(c-d)^3] + 2(c-d) = 2(2c+1)c(c+1) .(5)$$

Преобразуем $[2c+1-1-2d)]c(c+1) = (2c+1)c(c+1)- (2d+1)c(c+1)$. Подставим в (5),
вычтем подобный член,получившийся в левой части, из правой . Получим :

$$[ - (2c+1)(c+1)d - (2d+1)c(c+1)+2(c+1)(c-d)^2] + $$

$$ +[(2c+1)c(c-d)+(4c+1)(c-n)^2+2(c-d)^3] + 2(c-d) = (2c+1)c(c+1) .(6)$$

Я же говорил,что эта "штука" крепкая ! Сегодня не одолеть.Закончу завтра,как раз будет время на проверку.

[PhisicBGA]

Продолжаем тему.
Хорошо ,что в прошлый раз изложил только половину выкладок предлагаемого доказательства ...
Сейчас вот смотрю на эти выкладки и сразу вспоминается знаменитая басня дедушки Крылова "Ларец"

К кому-то принесли от мастера Ларец.
Отделкой, чистотой Ларец в глаза кидался;
Ну, всякий Ларчиком прекрасным любовался.
Вот входит в комнату механики мудрец.
Взглянув на Ларчик, он сказал: "Ларец с секретом,
Так; он и без замка;
А я берусь открыть; да, да, уверен в этом;
Не смейтесь так исподтишка!
Я отыщу секрет и Ларчик вам открою:
В механике и я чего-нибудь да стою".
Вот за Ларец принялся он:
Вертит его со всех сторон
И голову свою ломает;
То гвоздик, то другой, то скобку пожимает.
Тут, глядя на него, иной
Качает головой;
Те шепчутся, а те смеются меж собой.
В ушах лишь только отдается:
"Не тут, не так, не там!" Механик пуще рвется.
Потел, потел; но, наконец, устал,
От Ларчика отстал
И, как открыть его, никак не догадался:
А Ларчик просто открывался.

Случается нередко нам
И труд и мудрость видеть там,
Где стоит только догадаться
За дело просто взяться.

Вернёмся опять на исходные позиции и попробуем немного по другому.
Пусть сумма кубов двух соседних целых чисел$(a+1)$ и $ a $ будет равна кубу некоторого целого нечётного числа $(2c+1)$ т.е.

$$(a+1)^3 + a^3 = (2c+1)^3 . (1)$$

Умножим обе части этого равенства на нашу константу $ B=4 $ и прибавим к обеим частям равенства величину $2a + 1$.Получим:

$$4[(a+1)^3 + a^3]+2a+1 = 4(2c+1)^3 +2a+1 . (1)$$

Правая часть полученного равенства есть $(2a+1)^3$.Получается :

$$(2a+1)^3 = 4(2c+1)^3 +(2a+1) . (2)$$

Таким образом,своим предположением мы утверждаем,что некий куб целого числа можно разделить на четыре равных куба и маленький довесок. Представим теперь куб целого числа геометрически т.е. обычным материальным кубом величина ребра которого равна $2a+1$.Мы всегда легко можем его разделить на четыре равных части т.е. на четыре равных куба, но никакого довеска при этом мы никогда не получим.Следовательно наше исходное предположение не верно.
Таким образом,ни разность соседних кубов , ни их сумма не могут быть кубом целого числа.Что и требовалось доказать в рамках этой темы.

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1103029 писал(а):

$$(2a+1)^3 = 4(2c+1)^3 +(2a+1) . (2)$$

Таким образом,своим предположением мы утверждаем,что некий куб целого числа можно разделить на четыре равных куба и маленький довесок. Представим теперь куб целого числа геометрически т.е. обычным материальным кубом величина ребра которого равна $2a+1$.Мы всегда легко можем его разделить на четыре равных части т.е. на четыре равных куба, но никакого довеска при этом мы никогда не получим.Следовательно наше исходное предположение не верно.
Таким образом,ни разность соседних кубов , ни их сумма не могут быть кубом целого числа.Что и требовалось доказать в рамках этой темы.

Что-то вы совсем разочаровываете..

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! В этом случая сторона каждого куба будет равна не целому числу, так как $ (2a +1)/2 = a + 0,5$.

[Yarkin]

PhisicBGA в сообщении #1091597 писал(а):

Необходимо доказать, что разность кубов соседних целых чисел не может быть кубом целого числа,т.е. равенство

$$(y+1)^3 - y^3 = x^3 .(2)$$

не может быть справедливым для любых не тривиальных целых чисел $x,y $.

Наверно оно и для нецелых не может быть справедливым.

[venco]

Yarkin в сообщении #1103241 писал(а):

PhisicBGA в сообщении #1091597 писал(а):

Необходимо доказать, что разность кубов соседних целых чисел не может быть кубом целого числа,т.е. равенство

$$(y+1)^3 - y^3 = x^3 .(2)$$

не может быть справедливым для любых не тривиальных целых чисел $x,y $.

Наверно оно и для нецелых не может быть справедливым.

Yarkin, можно попросить вас не влезать в разговор с бессмысленными комментариями?
Если вам хочется обсудить вашу мысль, откройте другую тему.