2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 13:04 


23/11/09
173
Для вычисления определителей по известным рекуррентным соотношениям в задачнике Проскурякова описывается сильный формальный метод:
Изображение
Применим этот метод для вычисления такого же определителя как в примере на картинке только с параметром a(задача 369):
$$
\begin{vmatrix}
a & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & a & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a\\
\end{vmatrix}
$$с рекуррентным соотношением $D_n=aD_{n-1}-D_{n-2}$. Решая уравнение $x^2-ax+1 = 0$ находим корни $\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$ и $\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$
и далее делая подстановки в формулы на картинке (4) упираемся вот в такое: $$D_n = C_1\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n+C_2\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n$$ где $C_1=\dfrac{a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a}{\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4}}$ и $C_2=\dfrac{a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a}{\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4}}$
Это уже не реально (или реально?) преобразовать в ответ из задачника: $D_n=\dfrac{1}{2^n}\left(C_{n+1}^1a^n+C_{n+1}^3a^{n-2}(a^2+4)+C_{n+1}^5a^{n-4}(a^2+4)^2+C_{n+1}^7a^{n-6}(a^2+4)^4+\ldots\right)$
Я правильно понимаю, что данный метод не годится для получения такой формы ответа :?:
С другой стороны комбинаторные рассуждения типа "ясно что наш определитель равен знакопеременной сумме произведений получающейся всевозможными вычеркиваниями из последовательности $a,a,a,a,\ldots,a$ пар соседних элементов " тоже вряд ли предполагались в решении ибо такая форма ответа не следует из них естественным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 13:41 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
deep blue
Ответ: да!
Конкретно:
1.реально: подставьте ваши константы в формулу: все чуток упростится; раскройте скобки по биному Ньютона; члены с четными "цешками" сократятся - и будет вам ответ.
2. С другой стороны - ваше комбинаторное решение ничуть не хуже (да лучше оно, лучше!). Просто красивое комбинаторное решение обычно хрен придумаешь - разве что глядя на ответ, либо по своей высокой культурности - вот и заставляют студентов отрабатывать тупую технику - громоздкую, тяжелую, но зато боле-мене универсальную. Так что ответ -ДА! Надо уметь и так, и так. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
А расписать бином?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 16:56 


23/11/09
173
Евгений Машеров, DeBill Спасибо, будем продолжать пилить в этом направлении. Я просто не поверил, что смогу преобразовать одно в другое. Итак приступим:
(1) ${\frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a-1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4}
 \right) a \right)  \left( 1/2\,a+1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) ^{n}}
{ \left( 1/2\,a+1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) \sqrt {{a}^{2}-4}}}-{
\frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a+1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4}
 \right) a \right)  \left( 1/2\,a-1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) ^{n}}
{ \left( 1/2\,a-1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) \sqrt {{a}^{2}-4}}}$
(2) ${\frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a-1/2\,x \right) a \right) 
 \left( 1/2\,a+1/2\,x \right) ^{n-1}}{x}}-{\frac { \left( {a}^{2}-1-
 \left( 1/2\,a+1/2\,x \right) a \right)  \left( 1/2\,a-1/2\,x \right) 
^{n-1}}{x}}
$
(3)\dfrac{\left( 2\,{a}^{2}-2- \left( a-x \right) a \right)  \left( a+x
 \right) ^{n-1}- \left( 2\,{a}^{2}-2- \left( a+x \right) a \right) 
 \left( a-x \right)^{n-1}}{2^nx}
Здесь решил переписать так:
(4) {\dfrac {2\, \left( {a}^{2}+1 \right)  \left(  \left( a+x \right) ^{n-1
}- \left( a-x \right) ^{n-1} \right) -4\,a \left(  \left( a+x \right) 
^{n-2}- \left( a-x \right) ^{n-2} \right) }{{2}^{n}x}}
Далее расписываем биномы
(5) \dfrac{1}{2^n}\left({4 \left( {a}^{2}-1 \right)  \left( C_{n-1}^0 a^{
n-2}+C_{n-1}^3a^{n-4}x^2+\ldots\right) -8a \left(  C_{n-2}^0a^{n-3}+C_{n-2}^3a^{n-5}x^{2}+\ldots \right)\right) }
Как это преобразовать в $\dfrac{1}{2^n}\left(C_{n+1}^1a^n+C_{n+1}^3a^{n-2}(a^2+4)+C_{n+1}^5a^{n-4}(a^2+4)^2+C_{n+1}^7a^{n-6}(a^2+4)^4+\ldots\right)$ :?: или я где-то не туда пошел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 17:50 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Ну, в общем, все нормально. Но:
1. Ответ из задачника, мы видим, неправильный (опечатка, однако: должно быть $a^2 -1$, как у вас). По крайней мере, если так исправить, то их формула станет верной при $n=2$).
2. Ваши выкладки можно было несколько упростить : если в выражении для $C_1$ заменить (по Виету) $a^2$ на $a\cdot (\lambda _1 + \lambda _2)$, а $1$ на $\lambda _1 \cdot \lambda _2$, то скобка из знаменателя сократится, и жить станет легче... На самом деле это непринципиально : правильный ответ - он и в Африке правильный. Однако жизнь бы это - а особенно, если и еще один раз такое же жульничество удалось провернуть - шоб сразу были степени $n+1$ -облегчило бы.
3. В фромуле (5) опечатка : верхние индексы у цешек - нечетны.
4. И, наконец - (если не было ошибок) остается воспользоваться формулами
$C^{k+1}_{n+1} = C^k_n + C^{k+1}_n$ (видимо, дважды) - и будет хорошо

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение26.02.2016, 00:18 


23/11/09
173
DeBill в сообщении #1102046 писал(а):
Ваши выкладки можно было несколько упростить : если в выражении для $C_1$ заменить (по Виету) $a^2$ на $a\cdot (\lambda _1 + \lambda _2)$, а $1$ на $\lambda _1 \cdot \lambda _2$, то скобка из знаменателя сократится, и жить станет легче
Вы - супер DeBill!!!
Теперь все становится с головы на ноги, к которой не надо притягивать ответ за уши. После вашего трюка там сразу получаются $n+1$ степени из которых мгновенно следует ответ задачника. То что доктор прописал:
$$C_1=\dfrac{a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a}{\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4}}$$Но:$$a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a=\dfrac{1}{2}a^2-1+\dfrac{1}{2}a\sqrt{a^2-4}=\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^2$$Поэтому:
$$C_1\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n+C_2\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n=$$
$$=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-4}}\left(\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^{n+1}\right)$$
DeBill в сообщении #1102046 писал(а):
1. Ответ из задачника, мы видим, неправильный (опечатка, однако: должно быть $a^2 -1$, как у вас). По крайней мере, если так исправить, то их формула станет верной при $n=2$).
Это я описался. Везде в ответе $(a^2-4)$ вместо $(a^2+4)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение26.02.2016, 19:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
deep blue
Отлично!
deep blue в сообщении #1102157 писал(а):
Вы - супер DeBill!!!

Ну спасибо... :D
Жалко - запятой не хватает... :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group