2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 13:04 


23/11/09
173
Для вычисления определителей по известным рекуррентным соотношениям в задачнике Проскурякова описывается сильный формальный метод:
Изображение
Применим этот метод для вычисления такого же определителя как в примере на картинке только с параметром a(задача 369):
$$
\begin{vmatrix}
a & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & a & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a\\
\end{vmatrix}
$$с рекуррентным соотношением $D_n=aD_{n-1}-D_{n-2}$. Решая уравнение $x^2-ax+1 = 0$ находим корни $\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$ и $\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$
и далее делая подстановки в формулы на картинке (4) упираемся вот в такое: $$D_n = C_1\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n+C_2\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n$$ где $C_1=\dfrac{a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a}{\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4}}$ и $C_2=\dfrac{a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a}{\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4}}$
Это уже не реально (или реально?) преобразовать в ответ из задачника: $D_n=\dfrac{1}{2^n}\left(C_{n+1}^1a^n+C_{n+1}^3a^{n-2}(a^2+4)+C_{n+1}^5a^{n-4}(a^2+4)^2+C_{n+1}^7a^{n-6}(a^2+4)^4+\ldots\right)$
Я правильно понимаю, что данный метод не годится для получения такой формы ответа :?:
С другой стороны комбинаторные рассуждения типа "ясно что наш определитель равен знакопеременной сумме произведений получающейся всевозможными вычеркиваниями из последовательности $a,a,a,a,\ldots,a$ пар соседних элементов " тоже вряд ли предполагались в решении ибо такая форма ответа не следует из них естественным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 13:41 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
deep blue
Ответ: да!
Конкретно:
1.реально: подставьте ваши константы в формулу: все чуток упростится; раскройте скобки по биному Ньютона; члены с четными "цешками" сократятся - и будет вам ответ.
2. С другой стороны - ваше комбинаторное решение ничуть не хуже (да лучше оно, лучше!). Просто красивое комбинаторное решение обычно хрен придумаешь - разве что глядя на ответ, либо по своей высокой культурности - вот и заставляют студентов отрабатывать тупую технику - громоздкую, тяжелую, но зато боле-мене универсальную. Так что ответ -ДА! Надо уметь и так, и так. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
А расписать бином?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 16:56 


23/11/09
173
Евгений Машеров, DeBill Спасибо, будем продолжать пилить в этом направлении. Я просто не поверил, что смогу преобразовать одно в другое. Итак приступим:
(1) ${\frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a-1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4}
 \right) a \right)  \left( 1/2\,a+1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) ^{n}}
{ \left( 1/2\,a+1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) \sqrt {{a}^{2}-4}}}-{
\frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a+1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4}
 \right) a \right)  \left( 1/2\,a-1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) ^{n}}
{ \left( 1/2\,a-1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) \sqrt {{a}^{2}-4}}}$
(2) ${\frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a-1/2\,x \right) a \right) 
 \left( 1/2\,a+1/2\,x \right) ^{n-1}}{x}}-{\frac { \left( {a}^{2}-1-
 \left( 1/2\,a+1/2\,x \right) a \right)  \left( 1/2\,a-1/2\,x \right) 
^{n-1}}{x}}
$
(3)\dfrac{\left( 2\,{a}^{2}-2- \left( a-x \right) a \right)  \left( a+x
 \right) ^{n-1}- \left( 2\,{a}^{2}-2- \left( a+x \right) a \right) 
 \left( a-x \right)^{n-1}}{2^nx}
Здесь решил переписать так:
(4) {\dfrac {2\, \left( {a}^{2}+1 \right)  \left(  \left( a+x \right) ^{n-1
}- \left( a-x \right) ^{n-1} \right) -4\,a \left(  \left( a+x \right) 
^{n-2}- \left( a-x \right) ^{n-2} \right) }{{2}^{n}x}}
Далее расписываем биномы
(5) \dfrac{1}{2^n}\left({4 \left( {a}^{2}-1 \right)  \left( C_{n-1}^0 a^{
n-2}+C_{n-1}^3a^{n-4}x^2+\ldots\right) -8a \left(  C_{n-2}^0a^{n-3}+C_{n-2}^3a^{n-5}x^{2}+\ldots \right)\right) }
Как это преобразовать в $\dfrac{1}{2^n}\left(C_{n+1}^1a^n+C_{n+1}^3a^{n-2}(a^2+4)+C_{n+1}^5a^{n-4}(a^2+4)^2+C_{n+1}^7a^{n-6}(a^2+4)^4+\ldots\right)$ :?: или я где-то не туда пошел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение25.02.2016, 17:50 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Ну, в общем, все нормально. Но:
1. Ответ из задачника, мы видим, неправильный (опечатка, однако: должно быть $a^2 -1$, как у вас). По крайней мере, если так исправить, то их формула станет верной при $n=2$).
2. Ваши выкладки можно было несколько упростить : если в выражении для $C_1$ заменить (по Виету) $a^2$ на $a\cdot (\lambda _1 + \lambda _2)$, а $1$ на $\lambda _1 \cdot \lambda _2$, то скобка из знаменателя сократится, и жить станет легче... На самом деле это непринципиально : правильный ответ - он и в Африке правильный. Однако жизнь бы это - а особенно, если и еще один раз такое же жульничество удалось провернуть - шоб сразу были степени $n+1$ -облегчило бы.
3. В фромуле (5) опечатка : верхние индексы у цешек - нечетны.
4. И, наконец - (если не было ошибок) остается воспользоваться формулами
$C^{k+1}_{n+1} = C^k_n + C^{k+1}_n$ (видимо, дважды) - и будет хорошо

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение26.02.2016, 00:18 


23/11/09
173
DeBill в сообщении #1102046 писал(а):
Ваши выкладки можно было несколько упростить : если в выражении для $C_1$ заменить (по Виету) $a^2$ на $a\cdot (\lambda _1 + \lambda _2)$, а $1$ на $\lambda _1 \cdot \lambda _2$, то скобка из знаменателя сократится, и жить станет легче
Вы - супер DeBill!!!
Теперь все становится с головы на ноги, к которой не надо притягивать ответ за уши. После вашего трюка там сразу получаются $n+1$ степени из которых мгновенно следует ответ задачника. То что доктор прописал:
$$C_1=\dfrac{a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a}{\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4}}$$Но:$$a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a=\dfrac{1}{2}a^2-1+\dfrac{1}{2}a\sqrt{a^2-4}=\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^2$$Поэтому:
$$C_1\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n+C_2\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n=$$
$$=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-4}}\left(\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^{n+1}\right)$$
DeBill в сообщении #1102046 писал(а):
1. Ответ из задачника, мы видим, неправильный (опечатка, однако: должно быть $a^2 -1$, как у вас). По крайней мере, если так исправить, то их формула станет верной при $n=2$).
Это я описался. Везде в ответе $(a^2-4)$ вместо $(a^2+4)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисляем континуанту
Сообщение26.02.2016, 19:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
deep blue
Отлично!
deep blue в сообщении #1102157 писал(а):
Вы - супер DeBill!!!

Ну спасибо... :D
Жалко - запятой не хватает... :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group