Вычисляем континуанту

[deep blue]

Для вычисления определителей по известным рекуррентным соотношениям в задачнике Проскурякова описывается сильный формальный метод:

Применим этот метод для вычисления такого же определителя как в примере на картинке только с параметром a(задача 369):

$$ \begin{vmatrix} a & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 1 & a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & a & 1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a\\ \end{vmatrix} $$

с рекуррентным соотношением $D_n=aD_{n-1}-D_{n-2}$. Решая уравнение $x^2-ax+1 = 0$ находим корни $\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$ и $\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$
и далее делая подстановки в формулы на картинке (4) упираемся вот в такое:

$$D_n = C_1\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n+C_2\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n$$

где $C_1=\dfrac{a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a}{\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4}}$ и $C_2=\dfrac{a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a}{\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4}}$
Это уже не реально (или реально?) преобразовать в ответ из задачника: $D_n=\dfrac{1}{2^n}\left(C_{n+1}^1a^n+C_{n+1}^3a^{n-2}(a^2+4)+C_{n+1}^5a^{n-4}(a^2+4)^2+C_{n+1}^7a^{n-6}(a^2+4)^4+\ldots\right)$
Я правильно понимаю, что данный метод не годится для получения такой формы ответа
С другой стороны комбинаторные рассуждения типа "ясно что наш определитель равен знакопеременной сумме произведений получающейся всевозможными вычеркиваниями из последовательности $a,a,a,a,\ldots,a$ пар соседних элементов " тоже вряд ли предполагались в решении ибо такая форма ответа не следует из них естественным образом.

[DeBill]

deep blue
Ответ: да!
Конкретно:
1.реально: подставьте ваши константы в формулу: все чуток упростится; раскройте скобки по биному Ньютона; члены с четными "цешками" сократятся - и будет вам ответ.
2. С другой стороны - ваше комбинаторное решение ничуть не хуже (да лучше оно, лучше!). Просто красивое комбинаторное решение обычно хрен придумаешь - разве что глядя на ответ, либо по своей высокой культурности - вот и заставляют студентов отрабатывать тупую технику - громоздкую, тяжелую, но зато боле-мене универсальную. Так что ответ -ДА! Надо уметь и так, и так.

[Евгений Машеров]

А расписать бином?

[deep blue]

Евгений Машеров, DeBill Спасибо, будем продолжать пилить в этом направлении. Я просто не поверил, что смогу преобразовать одно в другое. Итак приступим:
(1) ${\frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a-1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) a \right) \left( 1/2\,a+1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) ^{n}} { \left( 1/2\,a+1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) \sqrt {{a}^{2}-4}}}-{ \frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a+1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) a \right) \left( 1/2\,a-1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) ^{n}} { \left( 1/2\,a-1/2\,\sqrt {{a}^{2}-4} \right) \sqrt {{a}^{2}-4}}}$
(2) ${\frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a-1/2\,x \right) a \right) \left( 1/2\,a+1/2\,x \right) ^{n-1}}{x}}-{\frac { \left( {a}^{2}-1- \left( 1/2\,a+1/2\,x \right) a \right) \left( 1/2\,a-1/2\,x \right) ^{n-1}}{x}} $
(3)\dfrac{\left( 2\,{a}^{2}-2- \left( a-x \right) a \right) \left( a+x \right) ^{n-1}- \left( 2\,{a}^{2}-2- \left( a+x \right) a \right) \left( a-x \right)^{n-1}}{2^nx}
Здесь решил переписать так:
(4) {\dfrac {2\, \left( {a}^{2}+1 \right) \left( \left( a+x \right) ^{n-1 }- \left( a-x \right) ^{n-1} \right) -4\,a \left( \left( a+x \right) ^{n-2}- \left( a-x \right) ^{n-2} \right) }{{2}^{n}x}}
Далее расписываем биномы
(5) \dfrac{1}{2^n}\left({4 \left( {a}^{2}-1 \right) \left( C_{n-1}^0 a^{ n-2}+C_{n-1}^3a^{n-4}x^2+\ldots\right) -8a \left( C_{n-2}^0a^{n-3}+C_{n-2}^3a^{n-5}x^{2}+\ldots \right)\right) }
Как это преобразовать в $\dfrac{1}{2^n}\left(C_{n+1}^1a^n+C_{n+1}^3a^{n-2}(a^2+4)+C_{n+1}^5a^{n-4}(a^2+4)^2+C_{n+1}^7a^{n-6}(a^2+4)^4+\ldots\right)$ или я где-то не туда пошел?

[DeBill]

Ну, в общем, все нормально. Но:
1. Ответ из задачника, мы видим, неправильный (опечатка, однако: должно быть $a^2 -1$, как у вас). По крайней мере, если так исправить, то их формула станет верной при $n=2$).
2. Ваши выкладки можно было несколько упростить : если в выражении для $C_1$ заменить (по Виету) $a^2$ на $a\cdot (\lambda _1 + \lambda _2)$, а $1$ на $\lambda _1 \cdot \lambda _2$, то скобка из знаменателя сократится, и жить станет легче... На самом деле это непринципиально : правильный ответ - он и в Африке правильный. Однако жизнь бы это - а особенно, если и еще один раз такое же жульничество удалось провернуть - шоб сразу были степени $n+1$ -облегчило бы.
3. В фромуле (5) опечатка : верхние индексы у цешек - нечетны.
4. И, наконец - (если не было ошибок) остается воспользоваться формулами
$C^{k+1}_{n+1} = C^k_n + C^{k+1}_n$ (видимо, дважды) - и будет хорошо

[deep blue]

DeBill в сообщении #1102046 писал(а):

Ваши выкладки можно было несколько упростить : если в выражении для $C_1$ заменить (по Виету) $a^2$ на $a\cdot (\lambda _1 + \lambda _2)$, а $1$ на $\lambda _1 \cdot \lambda _2$, то скобка из знаменателя сократится, и жить станет легче

Вы - супер DeBill!!!
Теперь все становится с головы на ноги, к которой не надо притягивать ответ за уши. После вашего трюка там сразу получаются $n+1$ степени из которых мгновенно следует ответ задачника. То что доктор прописал:

$$C_1=\dfrac{a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a}{\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4}}$$

Но:

$$a^2-1-\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)a=\dfrac{1}{2}a^2-1+\dfrac{1}{2}a\sqrt{a^2-4}=\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^2$$

Поэтому:

$$C_1\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n+C_2\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^n=$$ $$=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-4}}\left(\left(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)^{n+1}\right)$$

DeBill в сообщении #1102046 писал(а):

1. Ответ из задачника, мы видим, неправильный (опечатка, однако: должно быть $a^2 -1$, как у вас). По крайней мере, если так исправить, то их формула станет верной при $n=2$).

Это я описался. Везде в ответе $(a^2-4)$ вместо $(a^2+4)$

[DeBill]

deep blue
Отлично!

deep blue в сообщении #1102157 писал(а):

Вы - супер DeBill!!!

Ну спасибо...
Жалко - запятой не хватает...