Доказательство 1 Случая БТФ

[Iosif1]

Причины, по которым показываю работу на форуме:
1.Как подтверждение эффективности использования мод 2n для доказательства БТФ.
2.Большое количество участников, интересующихся данной проблемой.







Доказательство 1 Случая БТФ







1 Случай БТФ доказывается также на основании соизмеримости степеней и их оснований по mod 2n,

В отличии от 2 Случая БТФ, когда:

$ a \equiv c \equiv \upsilon \mod (2n) $ , где
$\upsilon$ - положительное число натурального числового ряда,

для 1 Случая БТФ:


рассматриваются разности степеней с произвольными основаниями, за исключением оснований, обеспечивающих 2 Случай БТФ.

Имеют место:

$\upsilon_c $ ; К1 и

$\upsilon_a $ .К2


Также, как и при рассмотрении 2 Случая БТФ нобходимо доказать, что равенство

${a^n }+ {b^n }= {c^n}$

при целочисленных
$a$ ,
$b$,
$c$ и
$n>2$ невозможно.[1]

$a$ ,
$b$,
$c$ - ваимно простые числа.



Выразим основания равенства 1.1 через единые аргументы, для чего вводим следующие обозначения:
$a + b = D_c$,
$c-b = D_a$,
$c-a = D_b$,
где, например,
$ D_c = c_i ^n$,
$ D_a = a_i ^n $,
$D_b = b_i ^n$, где

$c_i$,
$a_i$,
$b_i$ - целые числа. [2]


Поэтому равенство 1.1 может быть представлено в виде:

${a_i ^n}\cdot {a_x^n} + {b_i^n}\cdot{b_x^n} = {c_i^n}\cdot{c_x^n }$ (1.2)
или
${D_a\cdot \Phi_a }+{ D_b\cdot \Phi_b} ={ D_c \cdot \Phi_c }$ (1.3)
где :
$ \Phi_a = {a_x^n}$ ;
$\Phi_b = {b_x^n}$ ;
$ \Phi_c = {c_x^n}$ .

$ \Phi_b$ может быть представлена, как неполная
$ (n - 1)$ – ая степень суммы
$ (c+a)^ {(n-1)}$ [3].

При этом:

${a_x^n} \equiv {b_x^n} \equiv {c_x^n} \equiv 1 \mod (2n)^2$ ;

Существующая закономерность.

Задаёмся условием: основания $c$ и $a$ - целые нечётные числа, как и при рассмотрении 2 Случая БТФ.

Для 1 Случая БТФ справедливо:

$$F_{b_x^n}=(b_x^n-1)/(2n)=\frac{[(c^n-a^n)/(c-a)-1]}{2n}= \frac{[(c^n \pm \Delta_c)/(2n)-( a^n \pm \Delta_a)]/(2n)-(c_1-a_1) }{c-a} $$

А.1




При этом данное выражение справедливо, если классы вычетов [К1] и [К2] увеличиваются или уменьшаются на

$ \varphi \cdot 2n $; где:

$ \varphi $ –целые числа натурального ряда .



То есть, когда

$F_{c^n}=(c^n-\Delta_c -\varphi_c \cdot2n)/(2n) $ ;

$F_{a^n}=(a^n-\Delta_a -\varphi_a \cdot2n)/(2n) $ ;

Для 1 Случпя БТФ возможным условием является:

$F_{b_x^n} \equiv 0 \mod (2n) $ ;

То есть, противоречие, выявленное при рассмотрении 2 Случая БТФ, не может являться доказательством 1 Случая БТФ.
Возникает вопрос: «При каких условиях это событие наступает?»
Ответить на этот вопрос позволяет дать рассмотрение выражений с использованием

$(2n)$ счислений.

Сравнение по модулю можно рассматривать как элемент использования счисления, равного используемому модулю. Чтобы осуществить перевод в 2n-тое счисление необходимо посредством последовательного деления получаемых частных на 2n определить весь набор остатков, получаемых при делении. Например,
$(777_{10})$
переведем в третичное счисление.
$(777/3=259(0)) $
$ (259/3=86(1)) $
$ (86/3=28(2)) $
$ (28/3=9(1)) $
$ (9/3=3(0)) $
$ (3/3=3(0)) $
$ (1/3=0(1)) $

Записав остатки в обратной последовательности, получаем выражение числа в задаваемом счислении:
$(1001210_3) $
Мы останавливаемся на переводе потому, что математические действия, производимые в других счислениях, очень непривычны.
В приводимом доказательстве нами рассматриваются только два младших разряда числовых значений.
В $(2n)$ –том счислении количество символов равно
$(2n)$

(в десятичном счислении - 10) . До 11- ого счисления удобно использовать общепринятые символы (цифры), используемые в десятичном счислении.
При рассмотрении счислений по большему модулю можно использовать символы, представляющие комбинацию цифр с использованием разделительных знаков. Например, для 23 – ого счисления:

$(22,21,20,19,18,…)$ ,

и так далее. Символ равный используемому счислению всегда обозначаем как 0.
Независимо от используемого счисления существующее равенство, конечно, сохраняется.
В приводимом доказательстве используется
$(2n)$ - тое счисление.
При этом точные степени имеют по два следующих младших разряда:
Для степени $a^n$ имеем:

$(r_1_{a^n})$ – первый млажший разряд степени;

$(r_2_{a^n})$ – второй младший разряд степени.


В отличии от $n$ ого счисления, при использовании $2n$ -ого счисления первый младший разряд является определяющим чётность основания степени.
Это обеспечивает определённость возникновения вторых младших разрядах для чётных и нечётных оснований степеней.
Первые младшие разряды степеней дублируют первые младшие разряды оснований.
Вторые младшие разряды степеней могут зависеть, а могут и не зависеть от вторых младших разрядов оснований.
При наличии зависимости вторых младших разрядов степеней, имеем переодическую их сменяемость, в зависимости от чётности второго младшего разряда основания.
При сопоставлении оснований и степеней становится очевидным, что последовательность младших разрядов в основании предопределяет последовательность младших разрядов в степени.
Предопределённую последовательность разрядов мы именуем «штампом».
Аналогичное рассмотрение свойственно и при рассмотрении оснований и степеней
в $(n)$ –том счислении. Но приводит к неопределённости из-за возможности идентичности классов вычетов и для чётных, и для нечётных степеней.
И при использовании $(n)$ - ого счисления, и при использовании $(2n)$ –ого счисления перемножение штампов либо обеспечивает, либо не обеспечивает возникновения точного штампа.
Таким образом, если мы имеем набор степеней и умножаем их на степень, то можем получить набор произведений, либо, каждое из которых имеют набор двух младших разрядов, соответствующих штампам, либо не все произведения будут этому соответствовать. Штампы, перевод которых осуществляется единым штампом, нами именуются сопоставимыми, а разными – не сопоставимыми.
При этом определяющим в сопоставимости степеней являются вторые младшие разряды.
На основании этой закономерности и обеспечивается доказательство 1 Случая БТФ.
Итак, ответим на вопрос, когда при рассмотрении 1 Случая БТФ возникает событие, которое является противоречием при рассмотрении 2 Случая БТФ.
Для наглядности, при рассмотрении 1 Случая БТФ, удобно осуществлять перевод

$a \equiv 1 \mod (2n) $

$c \equiv c_1 \mod (2n)$ , где

$c_1$ – скорректированный, при этом, класс вычетов.
Данные параметры заданы для конкретизации условий, когда

$ (c^n-a^n) \equiv 0 \mod (2n) $, С.1.
как для удобства изложения доказательства.
Закономерность определяется при всех возможных соотношениях классов вычетов оснований $c,a$ по модулю 2n, относящихся к 1Случаю БТФ (с расчетными уточнениями).

При заданном соотношении классов вычетов оснований ожидаемое событие С.1.
наступает при выполнении условия:

$(r_{2_c^n}; r_{1_c^n}) \equiv (c-a+1) \equiv 0 \mod (2n)^2$ ; У.1

Задаваясь основаниями $c,a$ с данными младшими разрядами можно убедиться, что ожидаемое событие наступает при выполнении условия У.1.
При этом, при рассмотрении степеней $c^n,a^n$ по двум младшим разрядам легко убедиться, что и их разность, на основании рассмотрения двух младших разрядов
разности, тоже может иметь два младших разряда, соответствующих штампу точной степени.
То есть возможны два варианта:
1. Два младших разряда разности степеней не являются последовательностью, соответствующей последовательности двух младших разрядов точной степени.
2. Два младших разряда разности степеней обеспечивают последовательность, соответствующую последовательности двух младших разрядов точной степени.

Для первого варианта, становится очевидным, что данный разброс классов вычетов степеней $ c^n,a^n$ не может обеспечить в разности точную степень.
Чтобы убедиться, что и второй вариант не может являться предположением, допускающим возможность опровержения утверждения БТФ, достаточно осуществить параллельный перевод штампов степеней

$(c^n,a^n) $ и их разности при выполнении условия:

${c^n} \equiv 1 \mod (2n)$ ;

как становится, очевидно, что штамп разности степеней является несопоставимым со штампами степеней $(c^n,a^n)$ .
То есть, степени с чётными и нечётными основаниями, когда младший разряд степеней $(c^n)$ больше младших разрядов разностей $(c^n-a^n) $ на единицу, при идентичности вторых младших разрядов этих величин, не могут являться сопоставимыми степенями.
А поэтому, не могут обеспечиваться условия, противоречащие утверждению БТФ для 1 Случая БТФ.
Что и требовалось доказать.

Литература:

[1 ] Г.Эдвардс «Последняя теорема Ферма».
[2]М.М. Постников «Введение в теорию алгебраических чисел».
[3]М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».



P.S. С доказательством для 2 Случая БТФ можно ознакомиться в теме: «Доказательство БТФ для третьей степени как ключ», которая администрацией форума обречена на потопление,не убедив меня в правильности своего решения.
Чтобы не ожидало и эту публикацию, надеюсь, что с ней успеют ознакомиться многие, благодаря технологии форума, за что аплодисменты его создателям и благодарность.
Благлдарность также:
1.Someone, за разъяснение и терпение в теме «Доказательство БТФ».
2.Феликсу Шмиделю за полезные советы и вопросы по существу.
3. serval, за полученную возможность использования WolframAlpha, без чего было бы не возможно завершение данного варианта.

[Yarkin]

Iosif1 в сообщении #1101700 писал(а):

$c_i$,
$a_i$,
$b_i$ - целые числа. [2]

Это надо доказать.

[Iosif1]

Yarkin в сообщении #1101887 писал(а):

Это надо доказать.

Это давно доказано. О чём свидетельствует ссылка на литературные источники.

[Yarkin]

Iosif1 в сообщении #1101904 писал(а):

Это давно доказано. О чём свидетельствует ссылка на литературные источники.

По моему доказательства нигде нет. Это везде считается очевидным. Почему я должен верить, что a, b, c рассматриваются среди целых?

[Iosif1]

Yarkin в сообщении #1102100 писал(а):

По моему доказательства нигде нет. Это везде считается очевидным. Почему я должен верить, что a, b, c рассматриваются среди целых?

Если Вы ознакомились с доказательством, то, как мне кажется, вы должны понять, что данное утверждение, на которое Вы обратили пристальное внимание, даже не смотря на то, что оно, не вызывает уже давно никаких сомнений, не является в доказательстве определяющим.
Оно дано, как информация о том, что доказательством охвачено общепринятая формализация теоремы Ферма.
Почему? - спросите Вы.
Потому что, в доказательстве анализируются основания $a.b.c$, и степени $a^n, b^n. c^n$.

[Yarkin]

Iosif1 в сообщении #1102120 писал(а):

Оно дано, как информация о том, что доказательством охвачено общепринятая формализация теоремы Ферма.
Почему? - спросите Вы.
Потому что, в доказательстве анализируются основания $a.b.c$, и степени $a^n, b^n. c^n$.

С этим я согласен. В этой формализации я и засомневался. Если она ошибочна, то все дальнейшие рассуждения
не нужны.

[Iosif1]

Yarkin в сообщении #1102147 писал(а):

С этим я согласен. В этой формализации я и засомневался. Если она ошибочна, то все дальнейшие рассуждения
не нужны.

Надеюсь, напрасно.

[Феликс Шмидель]

Iosif1 в сообщении #1101700 писал(а):

При этом:

${a_x^n} \equiv {b_x^n} \equiv {c_x^n} \equiv 1 \mod (2n)^2$ ;

Существующая закономерность.

Вы уверены, что числа $a_x^n, b_x^n, c_x^n$ сравнимы с $1$ по модулю $4$?

Пусть, например, числа $a, c$ - нечётные, и $c-a$ делится на $4$.

Тогда $b_x^n=\frac{c^n-a^n}{c-a} \equiv n a^{n-1} \equiv n \mod 4$.
Значит, если $n \equiv 3 \mod 4$, то $b_x^n \equiv 3 \mod 4$.

-- Пт фев 26, 2016 08:48:23 --

Кроме этого, прежде чем написать какое-либо выражение, Вы должны определить его смысл.
Например, Вы пишите:

Iosif1 в сообщении #1101700 писал(а):

Имеют место:

$\upsilon_c $ ; К1 и

$\upsilon_a $ .К2

а что это значит непонятно.

-- Пт фев 26, 2016 08:53:46 --

Пока Вы точно и подробно всё не определите, никто не будет читать Ваше доказательство.

[Iosif1]

Феликс Шмидель в сообщении #1102180 писал(а):

Вы уверены, что числа $a_x^n, b_x^n, c_x^n$ сравнимы с $1$ по модулю $4$?

Причём тут модуль 4?
Мы, по моему с Вами знакомы по теме "Доказательство БТФ для третьей степени, как ключ..."
И я пишу: 1 Случай БТФ доказывается также на основании соизмеримости степеней и их оснований по mod 2n,.

Феликс Шмидель в сообщении #1102180 писал(а):

Например, Вы пишите:

Iosif1 в сообщении #1101700

писал(а):
Имеют место:

$\upsilon_c $ ; К1 и

$\upsilon_a $ .К2

а что это значит непонятно.

Iosif1 в сообщении #1101700 писал(а):

В отличии от 2 Случая БТФ, когда:

$ a \equiv c \equiv \upsilon \mod (2n) $ , где
$\upsilon$ - положительное число натурального числового ряда,

для 1 Случая БТФ:


рассматриваются разности степеней с произвольными основаниями, за исключением оснований, обеспечивающих 2 Случай БТФ.

Имеют место:

$\upsilon_c $ ; К1 и

$\upsilon_a $ .К2

Класс вычетов идентичный, и класс вычетов с соответствующими индексами - различные классы вычетов. И, по моему это условие известное, а на форуме по БТФ, и подавно. Это просто напоминание.

Почему непонятно? Вам? Удивлён.
Но, ладно. Для тех кому непонятно, я готов попробовать разъяснить. Но, вначале необходимо выявить, что кому непонятно для тех кому интересно. Если не будет интересующихся, зачем портить "бумагу".

[Феликс Шмидель]

Iosif1 в сообщении #1102320 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #1102180 писал(а):

Вы уверены, что числа $a_x^n, b_x^n, c_x^n$ сравнимы с $1$ по модулю $4$?

Причём тут модуль 4?

А вот при чём: Вы утверждаете, что ${a_x^n} \equiv {b_x^n} \equiv {c_x^n} \equiv 1 \mod (2n)^2$.
Из этого следует, что ${a_x^n} \equiv {b_x^n} \equiv {c_x^n} \equiv 1 \mod 4$.
Согласны?
А я показал Вам, что $b_x^n \equiv 3 \mod 4$ (при условии, что $n \equiv 3 \mod 4$).
Значит Ваше утверждение, что ${a_x^n} \equiv {b_x^n} \equiv {c_x^n} \equiv 1 \mod (2n)^2$ неверно.

-- Пт фев 26, 2016 18:20:46 --

Уважаемый Iosif1!

Если Вы не верите мне, что утверждение:

Цитата:

Имеют место:

$\upsilon_c $ ; К1 и

$\upsilon_a $ .К2

является бессмыслицей, спросите других форумчан.
Для того, чтобы это утверждение получило смысл, нужно определить, что означают входящие в него символы.

[Iosif1]

Феликс Шмидель в сообщении #1102325 писал(а):

Значит Ваше утверждение, что ${a_x^n} \equiv {b_x^n} \equiv {c_x^n} \equiv 1 \mod (2n)^2$ неверно.

Вы что считаете, что эти величины составляют равенство?
Я ещё не врубился в ваше умозаключение, но
эти величины действительно, всегда относятся к первому классу вычетов. Несомненно.
Но не на этой закономерности строиться доказательство.
Это, просто, констатация закономерности.
Я старался конкретизировать общее и отличное для 1 и 2 Случаев БТФ. И всё.
Было бы интересно посмотреть, как бы Вы это показали.

[Феликс Шмидель]

Iosif1 в сообщении #1102340 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #1102325 писал(а):

Значит Ваше утверждение, что ${a_x^n} \equiv {b_x^n} \equiv {c_x^n} \equiv 1 \mod (2n)^2$ неверно.

Вы что считаете, что эти величины составляют равенство?

Нет, не считаю. И не понимаю, о каком равенстве Вы говорите.

Iosif1 в сообщении #1102340 писал(а):

Я ещё не врубился в ваше умозаключение, но
эти величины действительно, всегда относятся к первому классу вычетов. Несомненно.
Но не на этой закономерности строиться доказательство.
Это, просто, констатация закономерности.
Я старался конкретизировать общее и отличное для 1 и 2 Случаев БТФ. И всё.
Было бы интересно посмотреть, как бы Вы это показали.

Я согласен, что эти величины сравнимы с $1$ по модулю $2 n^2$, но не по модулю $(2 n)^2$.
Если эта закономерность не важна для Вашего доказательства, то не нужно её приводить.
Ладно, пойдём дальше.

Цитата:

Задаёмся условием: основания $c$ и $a$ - целые нечётные числа, как и при рассмотрении 2 Случая БТФ.

Для 1 Случая БТФ справедливо:

$$F_{b_x^n}=(b_x^n-1)/(2n)=\frac{[(c^n-a^n)/(c-a)-1]}{2n}= \frac{[(c^n \pm \Delta_c)/(2n)-( a^n \pm \Delta_a)]/(2n)-(c_1-a_1) }{c-a} $$

Почему бы Вам прежде чем использовать символы $\Delta_c$ и $\Delta_a$ не определить, что они означают?
То же относится и к символам $c_1$ и $a_1$.

[Iosif1]

Феликс Шмидель в сообщении #1102349 писал(а):

Я согласен, что эти величины сравнимы с $1$ по модулю $2 n^2$, но не по модулю $(2 n)^2$.

Это правда.
Набросайте вопросов, если можно, и я поважусь, чтобы изложение было в соответствии с требованием.
И что не надо. Хотелось бы, чтобы и по основам.

Феликс Шмидель в сообщении #1102349 писал(а):

Для 1 Случая БТФ справедливо:

$$F_{b_x^n}=(b_x^n-1)/(2n)=\frac{[(c^n-a^n)/(c-a)-1]}{2n}= \frac{[(c^n \pm \Delta_c)/(2n)-( a^n \pm \Delta_a)]/(2n)-(c_1-a_1) }{c-a} $$

Данная формула дана, как обоснование того, что необходимо анализировать исходные величины: основания $a,b,c$ и степени $a^n,b^n,c^n$.
Тоже, как бы не обязательно. Пока взято на заметку.

[Yarkin]

Iosif1 в сообщении #1102148 писал(а):

Надеюсь, напрасно.

Не напрасны ли надежды? Тратить ценное время на поиск натуральных решений там, где нет и действительных решений.

[Iosif1]

Yarkin в сообщении #1102386 писал(а):

Не напрасны ли надежды? Тратить ценное время на поиск натуральных решений там, где нет и действительных решений.

Где и чего нет? Конкретнее.