Задача по механике про электроны

[Siropchik]

Задачка: три электрона в состоянии покоя находятся в вершинах правильного треугольника со стороной $ a=1 $ см. После этого они начинают двигаться под действием взаимного отталкивания. Определить предельное значение их скоростей.

Я решаю так:
На один электрон действует сила
$F=F_1+F_2=-2\dfrac{e^2}{a^2}\cos30=-\dfrac{\sqrt{3}e^2}{a^2}$
Потенциальная энергия: $\dfrac{\sqrt{3}e^2}{a}$. Она перейдет в кинетическую $mv^2/2$ $\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}e^2}{ma}}$.
А ответ в учебнике дан $v=\sqrt{\dfrac{2e^2}{ma}}$.



Подскажите, в чём моя (или не моя) ошибка?

[Утундрий]

$a$ - плохая координата.

[amon]

Siropchik в сообщении #1101638 писал(а):

Потенциальная энергия: $\dfrac{\sqrt{3}e^2}{a}$. Она перейдет в кинетическую $mv^2/2$ $\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}e^2}{ma}}$

Так будет, если рассматриваемый электрон улетел, а два других остались на месте.

[Sicker]

Тут ещё надо учесть, что электрон не локализирован в пространстве, и его волновая функция на бесконечности представляет плоскую волну.

[Pphantom]

Вычислите суммарную потенциальную энергию системы, а потом приравняйте ее к суммарной же кинетической (которая получится, когда электроны разлетятся на бесконечность).

Sicker в сообщении #1101648 писал(а):

Тут ещё надо учесть, что электрон не локализирован в пространстве, и его волновая функция на бесконечности представляет плоскую волну.

Вас давно не банили? Не надо чушь нести.

[Sicker]

Ну тогда они будут в запутанном состоянии и говорить можно будет только про среднее суммарной скорости.

-- 24.02.2016, 00:55 --

Pphantom
С каких пор электрон перестал быть квантовым объектом?

-- 24.02.2016, 00:56 --

Не я все понимаю конечно, но тогда лучше про заряженные шарики говорить не?

-- 24.02.2016, 01:00 --

(Оффтоп)

Хотя его можно рассмотреть как классический шарик с небольшой дисперсией координат и импульса

[Pphantom]

Sicker, Вам никогда не попадалось "парадоксальное" определение, что физика - это наука о том, чем можно пренебречь? Похоже, что нет, а зря.

[svv]

Sicker в сообщении #1101648 писал(а):

Тут ещё надо учесть, что электрон не локализирован в пространстве, и его волновая функция на бесконечности представляет плоскую волну.

Sicker, там же ещё и релятивистское соотношение между импульсом и энергией надо учесть!
Потом, пространство в присутствии электронов уже нельзя считать плоским.

[Anton_Peplov]

И гравитационное притяжение к Альдебарану.

[Cos(x-pi/2)]

А ещё Sicker не упомянул потерю энергии ускорившимися электронами на электромагнитное излучение.

Siropchik
Ошибка у Вас возникла при переходе от формулы (правильной) для силы $F_x$ к формуле (с неправильным коэффициентом) для потенциальной энергии. Лучше-то всего решать эту задачу без расчёта сил, а лишь через закон сохранения энергии всей системы трёх равноправных электронов, как указал Pphantom. Но можно и вашим способом решить; надо только выбрать начало отсчёта показанной вами координаты $x$ в центре треугольника, и тогда Вы заметите из геометрии, что приращение координаты электрона $dx$ связано с изменением $da$ стороны равностороннего треугольника соотношением: $da=\sqrt{3}\, dx.$ Этот факт ведёт к правильной формуле для потенциальной энергии $U_1(a)=e^2/a,$ приходящейся на один электрон. (Строго говоря, потенциальная энергия системы $U$ складывается из энергий отталкивания в каждой паре электронов, но здесь количество пар оказалось равным количеству электронов, так что потенциальную энергию пары можно трактовать и как энергию $U_1(a),$ приходящуюся на один электрон.)

[Siropchik]

Спасибо! Всё получилось, и коротким способом, и длинным.