Верхний предел интеграла переменная

[Dan B-Yallay]

Александрович в сообщении #1101332 писал(а):

Очень не просто разговаривать с человеком, который видел осциллограф только на картинке.

Прибор, на вход которого подаётся ВРЕМЯ - не покажете?

[arseniiv]

Александрович в сообщении #1101332 писал(а):

Очень не просто разговаривать с человеком, который видел осциллограф только на картинке.

Очень непросто разговаривать с человеком, который путает переменные и то, что ими обозначается. Пусть координаты точки на экране — это два выходных сигнала $\xi, \eta$. Осциллограф в каждом конкретном режиме — это не более чем физическая реализация конкретного дифура (или какого-то уравнения посложнее), содержащего эти выходные сигналы и входные. Никаких переменных осциллографу знать, чтобы работать, не надо.

[Anton_Peplov]

Dan B-Yallay в сообщении #1101333 писал(а):

Прибор, на вход которого подаётся ВРЕМЯ - не покажете?

Насосом подается или по проводам?:)

[Munin]

Александрович в сообщении #1101325 писал(а):

Осциллограф знает, он разворачивает входное напряжение по времени. В $XY$-вом режиме он воспринимает $X$ как переменную и строит зависимость $Y(X)$.

Простите, а вы про устройство осциллографа что-нибудь знаете? Про пилообразный сигнал, например...

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1101336 писал(а):

Насосом подается или по проводам?:)

Судя по всему насосом. Со скоростью 3 минуты в час.

[Александрович]

Munin в сообщении #1101339 писал(а):

а вы про устройство осциллографа что-нибудь знаете? Про пилообразный сигнал, например...

Кто знает про меандр, того пилой не напугаешь.

[Munin]

Александрович в сообщении #1101416 писал(а):

Кто знает про меандр, того пилой не напугаешь.

Одно дело не пугаться, другое - понимать, для чего она там используется.

Например, что будет, если в осциллографе подать пилу на $Y$? Или тот же меандр на $X$?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Я знаю точно, что если подать пилу на один и меандр на другой, будут фигуры Пили-Меандражу.

[Lia]

Тема утратила какую-либо связь со стартовым вопросом, которого, как выяснилось, тоже не было.
Закрыто.

Открыто по просьбе ТС.

Warning: при рецидиве флуда и оффтопа тема будет закрыта окончательно.

[Dan B-Yallay]

Краткое содержание предыдущих серий:

Александрович в сообщении #1100976 писал(а):

$F(x)=\int\limits_{a}^{x} f(x)dx$.
Почему неправильно?

Александрович в сообщении #1100995 писал(а):

Одна буква потому что обозначает одну и ту же переменную.

Otta в сообщении #1100998 писал(а):

Дык вот так не делается. :)

Александрович в сообщении #1100999 писал(а):

Устав не позволяет?
$x$ в $f(x)$ и в $F(x)$, а также в верхнем пределе интегрирования это одна и та же $x$.

Otta в сообщении #1101001 писал(а):

Раз одна и та же, возьмите $x=1$. Чтобы $F(1)$ найти

На этом вопросе как то все оборвалось.
Поэтому, есть предложение заслушать внеуставную интерпретацию любой из записей

$$F(1)=\int_a^1 f(1)d1$$

$$F(1)=\int_a^1 f(1)dx$$

[Anton_Peplov]

Однако же, как уже указывал Munin, для неопределенного интеграла запись

$$F(x) = \int f(x) dx + C$$

считается легитимной (константа $C$ там может стоять в левой или правой части в зависимости от вкуса). Я правильно понимаю, что так писать тоже нельзя, потому что ни одна из записей

$$F(1) = \int f(1) d1 + C$$

$$F(1) = \int f(1) dx + C$$

неверна?

[Евгений Машеров]

У меня такое ощущение, что дискуссия плавно уползла от первоначальной темы. И поэтому вношу предложение вопрос о закрытии чёрного хода дровяного сарая правомерности записи $F(x)=\int_0^x f(x)dx$ поставить в более узкие рамки.
Математические утверждения могут быть плохими двумя манерами. Совсем плохими, когда они внутренне противоречивы или противоречат ранее данным определениям, и умеренно плохими, когда они неудобны. Причём каждое неудобство, как несчастья в семье Облонских, может быть неудобно по-своему и кому-то неудобством не кажется.
Совсем плохие должны искореняться, но введением дополнительных соглашений и т.п. могут быть переведены в разряд умеренно плохих. Без дополнительных сведений выражение $F(x)=\int_0^x f(x)dx$ "совсем плохое", потому как один и тот же символ означает две разные вещи. Причём одна, предел интегрирования, предполагается в ходе вычисления интеграла постоянной, а вторая ipso facto своего предназначения должна меняться во время вычисления. Делается (явное или неявное) пояснение, что это "разные иксы", противоречие снимается, остаётся неудобство, связанное с возможной путаницей. Но, возможно, автор боится другого неудобства больше, будь то вероятность того, что студент не поймёт, что аргумент функции слева это та же по смыслу величина, что и под интегралом, только численно может быть другой, или возможность ошибок наборщика, не разобравшего, где латинские буквы ставить, где греческие. Если читатель пояснение уразумел (прочтя предупреждение, или сам догадался) - всё хорошо, если не уразумел - такая запись породит хорошо если перл на экзамене, а то ведь программу напишут, в которой X будут менять, пока он не достигнет X, а потом на радиоактивных руинах будут выяснять, кто напутал при расчёте реактора.
Обозначение $F(x)=\int_0^x f(x)dx$, ИМХО, плохое, лучше бы писать $F(x)=\int_0^x f(z)dz$ или там $F(t)=\int_0^x f(\tau)d\tau$, но если есть уверенность, что все читатели догадаются, что "is is not is", как выражался перед Конгрессом Клинтон одной буквой обозначены два разных объекта, и надо разбираться, где какой что обозначает по контексту, и главное, уверенность, что справятся все - пусть так пишут. Мы люди вежливые, и что при этом подумаем об авторе - не скажем вслух никому.

[RIP]

И вообще, понятия определённого и неопределённого интегралов совсем разные (вплоть до таких безобразий, что из существования одного вовсе не следует существование другого).

[Lia]

Часть сообщений, не касающихся непосредственно темы, отделена в «Что же это - неопределенный интеграл?»

Насколько я вижу, при этом не по адресу попало только следующее замечание:

g______d в сообщении #1101618 писал(а):

здесь в точности та же проблема, что и в равенстве $f(n)=\sum\limits_{n=1}^n g(n)$. Потому что не понятно, чем именно является последнее $n$: переменной, по которой идет суммирование, или величиной, до которой идет суммирование. Разница по существу, потому что получаются разные ответы.

Студентам лучше всего такое объяснять на примере программирования: нельзя объявлять переменной цикла уже использованную глобальную переменную.

Тут я его и оставлю еще раз.

[Mikhail_K]

Удивительно, как такую пустую тему можно пережёвывать целых 8 страниц! :)

Мне кажется, я понял, как наиболее внятно ответить на первоначальный вопрос ТС. Всех, для кого это всё звучит тривиально, прошу прощения за много слов - но, мне кажется, для ТС это будет наиболее доходчиво.

Александрович в сообщении #1100976 писал(а):

$x$ - значение случайной величины;
$f(x)$ - плотность распределения св;
$F(x)$ - функция распределения.
Тогда $F(x)=\int\limits_{a}^{x} f(x)dx$.
Почему неправильно?

Александрович в сообщении #1101024 писал(а):

Пусть я напишу $F(x)=\int\limits_{a}^{x} f(t)dt$.
Та же Otta меня спросит, $t$ и $x$ это обозначение одной и той же величины? Ну да, отвечу я. А почему тогда она разными буквами обозначена?

Александрович в сообщении #1101026 писал(а):

Пусть св задана плотностью плотностью распределения $f(t)$ и функцией распределения $F(x)$. Тоже вопросов не будет по поводу $t$ и $x$?

Проблема была в следующем. По мнению ТС, к каждой функции "прикручен" её неопределённый аргумент: например, функция - это не $f$, а $f(x)$, или $f(t)$, где $x$ или $t$ обозначает переменную, от которой эта функция зависит по смыслу. Такое представление несколько странно для чистой математики, где функция - это соответствие между двумя множествами, но имеет резон для математики прикладной. Например, если мы говорим о движении материальной точки по прямой, то разумно говорить о функции $x(t)$, представляющей собой зависимость координаты от времени, и о функции $v(t)$ - зависимости скорости (со знаком $+$ или $-$) от времени. Странно было бы в этом случае говорить, например, о функциях $x(t)$ и $v(s)$ - потому что аргумент представляет собой по смыслу одно и то же - время - и поэтому должен обозначаться одинаково.
Именно это имел в виду ТС, когда говорил, что было бы странно характеризовать случайную величину функцией распределения $F(x)$ и плотностью $f(t)$ - ведь аргумент этих двух функций по смыслу одинаков и должен обозначаться одинаково.

Далее, автора смущает запись $F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt$, именно потому что аргументы вдруг стали обозначаться разными буквами. В моём примере с движением материальной точки, надо написать

$$ x(t)=x(0)+\int\limits_0^t v(s)ds. $$

Вопрос тот же - если аргумент скорости - это по смыслу $t$, то почему же пишем $s$? И автор предлагает придумать что-то вроде

$$ x(t)=x(0)+\int\limits_0^t v(t)dt. $$

Я не буду лишний раз объяснять, чем это нехорошо, поскольку это было сказано уже много раз. Наиболее лаконично это было сказано Otta, которая предложила подставить в эту формулу $t=1$.

Недоумение, по-моему, можно разрешить так. Представим себе другой пример: последовательность $\{x_n\}$, члены которой вычисляются согласно рекуррентной формуле

$$ x_n=f(x_1,\dots,x_{n-1}). \eqno{(1)} $$

Например, числа Фибоначчи или ещё что-нибудь в этом духе.
Понятно, что $n$ здесь играет роль времени; эту последовательность можно представлять себе как процесс с дискретным временем $n$. Согласно идеологии ТС, к величине $x$ намертво прикручен индекс $n$: надо писать непременно $x_n$, и неверно писать $x_m$ или $x_k$. Как я уже писал, для математики это не очень удобно, но так как мы уже видели, что резон в этом некоторый есть, то примем идеологию ТС и не будем отступать от неё.

Но... что же мы видим? В правой части формулы (1) - о ужас! - тот же самый $x$ употребляется и с индексом $n-1$, и с индексом $n-2$, и с другими индексами. И на этом примере ТС, я думаю, уже без труда поймёт: даже если мы говорим, что последовательность - это $x_n$, в формулах $x$ вполне может употребляться и с другими индексами. Даже если время - это $n$, то чтобы показать связь между разными моментами времени, эти разные моменты мы должны обозначать разными символами. Даже если мы говорим, что скорость - это $v(t)$, то чтобы показать связь между разными моментами времени, мы кое-где должны писать и $v(s)$. И окончательный ответ на вопрос ТС звучит так. Да, последовательность это $\{x_n\}$ (именно с индексом $n$), но в формуле для $x_n$ можно использовать и $x_{n-1}$. Да, скорость это $v(t)$, а не $v(s)$ (по смыслу), но в формуле для $x(t)$ можно и нужно использовать $v(s)$. Да, функция распределения это $F(x)$ и плотность распределения это $f(x)$, а не $f(t)$; однако в формуле для $F(x)$ вполне можно использовать $f(t)$.