Измерения в квантовой механике

[Munin]

physicsworks в сообщении #1100919 писал(а):

2. Messiah
3. Cohen, Tannoudji

+1 за эти книги. (Хотя мне ЛЛ-3 вреда не нанёс, надеюсь. Впрочем, я его читал не первым, а после курса лекций.)

Уточнение: Коэн-Таннуджи - это одна двойная фамилия одного автора. Клод Коэн-Таннуджи. Нобель, кстати.

physicsworks в сообщении #1100919 писал(а):

Опять же, Фейнмана лучше почитать потом, когда-нибудь, или параллельно некоторые главы.

Если уж потом и параллельно, то всю линейку:
ФЛФ-8,9.
Фейнман, Хибс. Квантовая механика и интегралы по траекториям.
Фейнман. Квантовая электродинамика.

[Viktor92]

amon в сообщении #1100904 писал(а):

Измерение всегда меняет $|\Psi\rangle$ (состояние), за исключением того редкого случая, когда $|\Psi\rangle$ - собственное состояние измеряемой величины и больше мы ничего по случайности не измерили.

Т.е. в этом случае волновая функция до измерения, будет равняться волновой функции после измерения? Получается ли что собственное состояние - частный случай чистого, когда полной набор составляет одна единственная величина?

amon в сообщении #1100904 писал(а):

По-моему, Вы слишком зациклены на процедуре измерения. Попробуйте лучше понять, как конкретные системы описываются, а потом вернитесь к вопросу об измерениях.

Зациклен, потому что по моему мнению измерение - краеугольный камень квантовой механики, также как соглашение о синхронизации часов по Эйнштейну в СТО. И помимо математической стороны дела хотелось бы понять, как всё делается в эксперименте, откуда берут волновые функции и операторы, как их проверяют, а то пока для меня квантовая механика, как хитроумная математическая теория. Но наверно пока что и надо так её изучать, буду механически решать задачи и надеяться, что понимание придет потом...

physicsworks в сообщении #1100919 писал(а):

Не используйте ЛЛ3 в качестве первой книги по квантовой механике. Ничего хорошего из этого не получится. Будете использовать ЛЛ3 как справочник когда выучите квантовую механику по другим книгам.

Да я это уже понял, но в 1-главе довольно многое почерпнул, далее уже не всё понятно.

physicsworks в сообщении #1100922 писал(а):

нет, это состояние, которое можно описать единственным вектором (а вообще лучом) в гильбертовом пространстве. А само состояние мы можем и не знать.

Т.е. это такие состояние, которые можно в принципе задать измерив полный набор физических величин (этот набор может быть бесконечномерным поэтому и луч), но мы его еще не нашли экспериментально/теоретически?

Munin в сообщении #1100992 писал(а):

Впрочем, я его читал не первым, а после курса лекций.

У меня лекции будут на следующий год, пока что надо просто сдать будет предмет введение в квантовую механику, но я решил сейчас уже более глубоко изучить, что тянуть.

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #1101065 писал(а):

Получается ли что собственное состояние - частный случай чистого, когда полной набор составляет одна единственная величина?

Собственное состояние — частный случай чистого по определению.

Viktor92 в сообщении #1101065 писал(а):

(этот набор может быть бесконечномерным поэтому и луч)

Луч тут из-за других вещей: $\lvert\Psi\rangle$ и $\lambda\lvert\Psi\rangle, \lambda\ne0$ описывают одно и то же состояние. Хотя вообще это легче назвать прямой (не забывая, что она комплексная!). А вот размерность гильбертова пространства к упомянутому вами имеет отношение.

[Viktor92]

arseniiv в сообщении #1101071 писал(а):

Собственное состояние — частный случай чистого по определению.

Только такого определения я не где не видел, читал Ландау 3 том, книгу Иванова, атомную физику Матвеева, понятие собственное состояние нигде не упоминается...Вот сейчас кажется картина вырисовывается: правильно ли я понял, то самое гильбертово пространство - пространство чистых состояний, в котором вектора суть $\left\lvert\Psi\right\rangle$, в этом пространстве мы можем выбрать базис из собственных состояний некоторый физической величины (они же собственные функции оператора физической величины $\hat{A}$) $\left\lvert f_n \right\rangle$ , любое чистое состояние раскладывается по базису из собственных состояний , где компоненты разложения есть волновые функции $\left\lvert\Psi\right\rangle=\sum\limits_{n}\left\langle f_n \left\lvert\Psi\right\rangle \left\lvert f_n\right\rangle$, $\Psi(f_n)=\left\langle f_n \left\lvert\Psi\right\rangle$, ну и в общем случае это всё дело бесконечномерно или даже непрерывно. Результат измерения чистого состояния - появление одного из собственных состояний,т.е. сиcтема до измерения была в состоянии $\left\lvert\Psi\right\rangle$, а после будет в каком-то состоянии $\left\lvert f_n\right\rangle$, вероятность появления этого состояния $(\left\lvert\left\langle f_n \left\lvert\Psi\right\rangle\right\rvert )^2$, а значение физ. величины $f_n=$$\left\langle f_n\left\lvert\hat{A}\right\rvert f_n\right\rangle$.
Ну и собственные состояния очевидно являются стационарными.

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1101065 писал(а):

Зациклен, потому что по моему мнению измерение - краеугольный камень квантовой механики, также как соглашение о синхронизации часов по Эйнштейну в СТО.

Нет, это вы неправильно поняли.

Краеугольный камень квантовой механики - это пространство состояний, и операторы в этом пространстве. А измерения... Бо́льшая часть квантовомеханических расчётов измерений вообще не касается.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Viktor92 в сообщении #1101097 писал(а):

Только такого определения я не где не видел, читал Ландау 3 том, книгу Иванова, атомную физику Матвеева, понятие собственное состояние нигде не упоминается...

Видимо, где-нибудь там всё-таки есть. Как вы написали ниже, собственное состояние оператора $A$ — это его собственный вектор. Всё: это уже определение.

[Viktor92]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1101237 писал(а):

Видимо, где-нибудь там всё-таки есть. Как вы написали ниже, собственное состояние оператора $A$ — это его собственный вектор. Всё: это уже определение.

Нашёл это определение в лекциях Дирака, вообще очень хорошая книга, с неё и надо было начинать.

[Munin]

Может быть, употребляются синонимы: собственная функция, стационарное состояние.

[Viktor92]

Munin в сообщении #1101302 писал(а):

Может быть, употребляются синонимы: собственная функция, стационарное состояние.

Да, там везде употребляется собственная функция, но для меня это чисто математическое определение собственных векторов оператора на гильбертовом пространстве. А собственное состояние - это физическое определение, характеризующее свойство состояния системы. У Дирака как раз логически правильно вводится всё: сначала из физических предпосылок даётся определения собственного состояния, а потом строится соответствующий мат. аппарат.

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1101409 писал(а):

Да, там везде употребляется собственная функция, но для меня это чисто математическое определение собственных векторов оператора на гильбертовом пространстве.

Ну так надо вспомнить, что это - волновая функция, что у неё есть физическая интерпретация.

А насчёт логической последовательности... не превозносите её слишком высоко. Поначалу ваша задача - просто познакомиться с очень странным миром. Не изучить обоснования, которые самих учёных привели к такому пониманию. Сравните, одно дело научиться ходить, а другое - изучить механику, теорию устойчивости, и обосновать своё хождение.

[Viktor92]

У Д.И. Блохинцева прочитал такую фразу: из частных состояний (я так понимаю в его терминологии это собственные состояния) $\psi_1...\psi_n$ можно составить чистый квантовый ансамбль ( наверное это чистое состояние) следующим образом $\Psi=\sum\limits_{n}c_n\psi_n$. Так ведь это будет смешанным состоянием, а не чистым, т.к. оно при измерениях с разными вероятностями $ c_n^2$
будет редуцироваться в собственные состояния $\psi_n$. Автор ошибается или я неправильно его терминология понимаю?

[amon]

Viktor92 в сообщении #1102286 писал(а):

Так ведь это будет смешанным состоянием

Чистым состоянием по определению называется состояние, для которого можно написать волновую функцию. Смешанное - для которого нельзя (например, мы рассматриваем только часть большой системы с взаимодействием). Вы путаете смешанное и запутанное состояния.

[Cos(x-pi/2)]

Viktor92 в сообщении #1102286 писал(а):

Автор ошибается или я неправильно его терминология понимаю?

Viktor92, Вы неправильно поняли термины. "Чистое состояние" это состояние описываемое волновой функцией; и здесь неважно, является ли волновая волновая функция собственной функцией $\psi_n$ какого-либо оператора физической величины, или же она имеет вид линейной комбинации разных собственных функций того опеатора, т.е. имеет вид $\Psi=\sum\limits_{n}c_n\psi_n.$

"Смешанное состояние" объекта это такое, которое не может быть описано волновой функцией этого объекта. Смешанное состояние квантового объекта описывается матрицей плотности. Так бывает, когда объект является частью системы взаимодействующих друг с другом объектов - в этом случае невозможно строго ввести для объектов их индивидуальные волновые функции (можно только приближённо, например, - в рамках так называемой "теории возмущений", и тогда это будут приближённые чистые состояния объектов); лишь замкнутая система в целом строго описывается волновой функцией, но не её взаимодействующие друг с другом части.

P.S. Уважаемый amon уже чётко ответил выше.

[Viktor92]

Cos(x-pi/2), amon благодарю за ответы.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1102291 писал(а):

"Чистое состояние" это состояние описываемое волновой функцией; и здесь неважно, является ли волновая волновая функция собственной функцией $\psi_n$ какого-либо оператора физической величины, или же она имеет вид линейной комбинации разных собственных функций того оператора, т.е. имеет вид $\Psi=\sum\limits_{n}c_n\psi_n.$

А если мы столкнулись с состоянием $\Psi$ в эксперименте и коэффициенты $c_n$ нам неизвестны, а известны только вероятности $P_n=c_n^2$, то получается мы будем думать об этом состоянии, как о смешанном?
То что только чистые состояния представимы волновыми функциями я знаю, но в соответствии с отрывком например из книги Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения, как я понял, чистые состояния можно определить так: пусть имеется полный набор одновременно измеримых наблюдаемых, которым соответствуют попарно коммутирующие операторы $\hat{A_1}..\hat{A_n}$, состояние $\left\lvert\Psi\right\rangle$
будет чистым, если в результате измерения наблюдаемые будут равны собственным значениям $a_1..a_n$, причем $\left\lvert\Psi\right\rangle$ является по существу общим собственным векторов всех операторов $\hat{A_1}..\hat{A_n}$.
Отсюда следует - если система в чистом состоянии $\left\lvert\Psi\right\rangle$, то в результате измерения достоверно и однозначно получаем набор чисел - собственных значений $a_1..a_n$- я в таком смысле понимал определение чистого состояния, поэтому:

Viktor92 в сообщении #1102286 писал(а):

Так ведь это будет смешанным состоянием, а не чистым, т.к. оно при измерениях с разными вероятностями $ c_n^2$ будет редуцироваться в собственные состояния $\psi_n$

в данном случае не получается достоверно однозначный результат.

[Cos(x-pi/2)]

Viktor92, с Вашего позволения изрядно позанудствую:

Имхо, не стоит уделять всё своё внимание определениям терминов, сформулированным очень абстрактно, да к тому же с не раскрытым явно смыслом выражений в кавычках, типа "максимальная информация"... Плюньте сейчас на это; обобщениями займётесь после того, как освоите необходимый минимум квантово-механических формул, и разберёте стандартный джентльменский набор учебных КМ-задач.

Пока у Вас не закрепятся в голове простейшие конкретные примеры КМ-задач, всякие обобщённые формулировки, скорее всего, будут оставаться непонятными.

Имхо, начните как все ученики - с учебных задач об одномерном движении одной частицы в статическом потенциале $U(x),$ (включая и случай свободного движения: $U(x) \equiv \operatorname{const} = 0).$

Основной пример оператора физической величины в квантовой механике одномерного движения частицы - оператор Гамильтона $\hat{H}$ для частицы. Его собственные функции это т.н. стационарные состояния, называемые также состояниями с определёнными значениями энергии $E.$ Их линейными суперпозициями будут описываться нестационарные состояния, и среди них есть очень интересные с учебно-воспитательной точки зрения.

Например, важный вид нестационарных состояний свободной частицы это т.н. волновые пакеты. А в задаче о квантовом гармоническом осцилляторе особенно интересны из нестационарных состояний т.н. когерентные состояния. Уверяю Вас, в этих сюжетах вскрывается очень много поучительных фактов: о связи импульсной и координатной ширин пакета, о его расплывании; о временнoй динамике когерентных состояний и среднего значения координаты осциллятора, о связи квантово-механических средних значений с классической картиной одномерного движения частицы. Всё это в начале учёбы намного важнее, чем довольно пустяковый вопрос о терминах "чистое" и "смешанное" состояние; к этим терминам вернётесь позже, на базе уже вполне конкретных знаний, и вопрос сам собой легко разъяснится.

Уже в 1-мерных задачах об одной частице Вы столкнётесь с важными квантовыми эффектами "надбарьерного отражения" и "туннелирования". А если потенциал $U(x)$ имеет вид ямы, как, например, в случае гармонического осциллятора, то Вы изучите явление "квантования энергии", познакомитесь с понятием "нулевые колебания" и научитесь количественно оценивать КМ-характеристики движения частицы из соотношений неопределённости Гейзенберга.

В таких задачах Вы получите и примеры конкретной математической техники, применяемой для решения уравнения Шредингера (пусть хотя бы в простейших случаях); обнаружите огромную роль т.н. "граничных условий", налагаемых на волновые функции, и это приведёт Вас к гораздо более осознаному пониманию термина "оператор". Разложение волновой функции по собственным функциям гамильтониана, важное для анализа динамики квантового состояния, послужит конкретным примером разложений функций по системам ортонормированных функции $\Psi=\sum\limits_{n}c_n\psi_n$, и способствует пониманию логической структуры квантовой теории и её интерпретации. В сюжетах о связи между координатным и импульсным представлением у Вас возникнет естественный повод хорошенько изучить преобразование Фурье, тесно связанное с идеей о разложении функций по ортонормированному базису.

Затем следует перейти к задачам о 3-мерном движении одной частицы. Тогда наряду с понятием векторного оператора импульса Вы освоите принципиально новое для Вас понятие операторов момента импульса, познакомитесь с нетривиальными для начинающего ученика примерами коммутационных соотношений, с мультиплетами собственных функций $|l,m\rangle$ - они служат базисом неприводимых представлений группы 3 мерных поворотов. И осознаете, что такие операторы физических величин, как импульс и момент импульса являются генераторами групп симметрии $\mathbf{r}$-пространства - группы параллельных переносов и группы вращений. Это очень характерный факт для всей квантовой теории: многие операторы физических величин в ней появляются именно как генераторы непрерывных групп симметрии. А симметрии проявляются экспериментально, они ведут к "законам сохранения"; в этом и кроется глубокая связь между экспериментом и таким элементом теоретического языка, как "оператор физической величины".

Очень важно разобраться с задачей о движении частицы в сферически симметричном потенциале, и со стандартным примером - о состояниях электрона в атоме водорода (сначала в нерелятивистском приближении, без учёта спина, а затем и с разного рода уточнениями).

В сюжетах о 3-мерном движении частицы у Вас впервые появится конкретный пример того, какую роль играют "полные наборы взаимно коммутирующих операторов". Вы почувствуете это, обдумывая, например, тот факт, что состояния свободной частицы бывает удобно представлять двумя разными способами: собственными функциями оператора импульса $\hat{\mathbf{p}}$ (плоскими волнами), либо - собственными функциями операторов момента $\hat{\mathbf{l}}^2, \, \hat{l}_z.$ В первом варианте используется набор операторов $\hat H, \, \hat{\mathbf{p}},$ а во втором - $\hat H, \, \hat{\mathbf{l}}^2, \, \hat{l}_z.$ Всё это в дальнейшем всплывает в задачах о рассеянии частиц, и это гораздо важнее, чем досрочное заучивание абстрактных формулировок о "полных наборах операторов", о "максимальной информации" и т.п.

Затем Вы освоите понятие "спин", понятие "многочастичные системы", тождественность частиц и связь спина со статистикой. Да, а ещё до этого (я это забыл упомянуть) нужно порешать задачи на применение теории возмущений, без вырождения и с вырождением, а также задачи нестационарной теории возмущений о вероятностях переходов (там есть т.н. "золотое правило квантовой механики", очень важное). В сюжетах про момент импульса, спин, и в задачах теории возмущений с вырождением Вы научитесь применять в КМ матричное исчисление.

И вот когда у Вас в голове образуется этакий квантово-механический "островок безопасности", на котором Вы будете чувствовать себя вполне уверенно, вот тогда можно пытаться с него делать вылазки в более сложные области, как например, квантовая теори поля (КТП). И после этого Вы сможете гораздо отчётливее понимать и то, как квантовая теория применяется в анализе экспериментов, и то, как устроена её логическая структура, и что означают абстрактные термины.

А пытаться сформулировать себе какие-то обобщённые схемы и сделать абстрактные выводы о КМ и о её связи с экспериментом только лишь из содержания первых страниц учебника (либо прыгая по отдельным формулировкам на страницах разных книжек) не следует. Необходимо систематически разбирать задачи параллельно с систематическим чтением учебника. Очевидно же, что если бы можно было пересказать КМ в тонкой брошюрке или на паре страничек форума, то никто бы и не писал никогда толстых учебников.