Помогите осознать верное решение

[Cynic]

Попросили тут, помочь решить уравнение по тригонометрии из учебника Алгебры 10 класса:

$\[\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) = - 1\]$

Для решения используем формулы из того же учебника:

$\[{x_1} = \arcsin (a) + 2\pi n\]$
$\[{x_2} = \pi - \arcsin (a) + 2\pi n,{\text{ }}n \in Z\]$

Получаем:

$\[\arcsin ( - 1) = - \frac{\pi }{2}\]$

$\[\frac{{{x_1}}}{2} - \frac{\pi }{6} = \arcsin ( - 1) + 2\pi n = - \frac{\pi }{2} + 2\pi n\]$

$\[\frac{{{x_1}}}{2} = \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{2} + 2\pi n = - \frac{\pi }{3} + 2\pi n\]$

$\[{x_1} = - \frac{{2\pi }}{3} + 4\pi n\]$

$\[\frac{{{x_2}}}{2} - \frac{\pi }{6} = \pi - \arcsin ( - 1) + 2\pi n = \pi + \frac{\pi }{2} + 2\pi n = \frac{{3\pi }}{2} + 2\pi n\]$

$\[\frac{{{x_2}}}{2} = \frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2} + 2\pi n = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n\]$

$\[{x_2} = \frac{{10\pi }}{3} + 4\pi n\]$

Если же посмотреть ответ в учебнике, то там в качестве ответа там будет только $x_1$. А Mathematica например, вообще выдает ответ $\[ - \frac{{2\pi }}{3} - 4\pi n\]$. Причем если любой из этих ответов подставить в искомую формулу, то все они окажутся верными. Поскольку функция периодическая, а $n$ можно выбирать произвольно и с разным знаком, то получается что я могу написать бесконечное множество разных ответов.
Мой вопрос в общем в том, какой же ответ считать каноническим в таком случае?

[Mihr]

Cynic,
Вы не учитываете, что когда синус равен $1$ либо $-1$, две бесконечные серии решений совпадают (сливаются в одну). И Вы получили не две различные серии решений, а одну, но записанную двумя разными способами. Чтобы в этом убедиться, подставьте в первое решение вместо $n$ сумму $n+1$ и посмотрите, что получится после упрощения.

[mihailm]

Cynic в сообщении #1100891 писал(а):

...Для решения используем формулы из того же учебника:...

Чуть дальше надо учебник читать. Там будет фраза про то, что в некоторых случаях желательно применять другую формулу.

[Cynic]

Mihr в сообщении #1100897 писал(а):

Cynic,
Вы не учитываете, что когда синус равен $1$ либо $-1$, две бесконечные серии решений совпадают (сливаются в одну). И Вы получили не две различные серии решений, а одну, но записанную двумя разными способами. Чтобы в этом убедиться, подставьте в первое решение вместо $n$ сумму $n+1$ и посмотрите, что получится после упрощения.

Это понятно. Вопрос был скорее о том, что считать правильным с точки зрения "Алгебры в школе". А то на помогаю людям, потом будут претензии :)

[Mikhail_K]

Cynic в сообщении #1100988 писал(а):

Вопрос был скорее о том, что считать правильным с точки зрения "Алгебры в школе".

С точки зрения алгебры в школе, не нужно арксинусов вообще.
Когда синус чего-то равен $-1$, то это что-то равно $-\pi/2+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Дальше - согласно Вашему "первому случаю".

[Someone]

В книжках для подготовки абитуриентов к вступительным экзаменам в ВУЗы писали, что ответ к уравнению должен быть записан так, чтобы каждый корень упоминался только один раз. Двукратное упоминание корня, хотя бы и неявное, как это часто случается с тригонометрическими уравнениями, считалось ошибкой.