Сумма с биномиальными коэффициентами (гамма-функциями) ?

[Divergence]

Vince Diesel - Большое Спасибо

sergei1961 - Спасибо. А немогли бы ссылки подсказать на хорошие книжки, где это написано.

[sergei1961]

Numerical Methods Based on Sinc and Analytic Functions/ Автор: Frank Stenger (auth.)
Серия: Springer Series in Computational Mathematics 20 Периодика:
Издательство: Springer-Verlag New York Место изд.: Год: 1993.
Есть сами знаете в какой библ. Там же есть и более современный вариант этой книги того же автора: Handbook of Sinc Numerical Methods ... от 2011 г.

Сама формула есть в вике:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0 ... 0%BD%D0%B0

По ней любая функция при некоторых ограничениях раскладывается по синкам, в том числе и Ваша.

[whitefox]

По методу "Конкретной математики" представим ряд (1) в виде

$$\frac1{\Gamma(1-\alpha)}F(-\alpha,-\beta;1-\alpha;1)$$

Там же на стр. 240 находим формулу (5.92)

$$F(a,b;c;1)=\frac{\Gamma(c-a-b)\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$$

Справедливую при: $\text{целое}\ b\leqslant 0$ или $\Re(c)>\Re(a)+\Re(b).$

Учитывая

Divergence в сообщении #1100366 писал(а):

$\beta \ge \alpha >0$

получаем искомое.

[Divergence]

Vince Diesel - Большущее Спасибо.
Не сразу понял почему $-\alpha$ и $-\beta$, но потом нашел свойство символов Похгаммера $(-x)_n=(-1)^n\cdot(x-n+1)_n$, и получается все отлично.

sergei1961 - Спасибо за интересные ссылки. Обязательно посмотрю.