Фермионы и бозоны: подробности

[Munin]

amon в сообщении #1100225 писал(а):

Грина бояться - в поле не ходить. Просто, для функций Грина ответ пишется в одну строчку.

Ну, это-то понятно. Просто Грина надо ещё по собственным состояниям разложить.

amon в сообщении #1100225 писал(а):

Там, если мне память совсем не отшибло, используется утверждение, что операторы, разделенные пространственно подобным интервалом, коммутируют.

А можно ли в нерелятивистском случае постулировать, что коммутируют операторы, разделённые $t=\mathrm{const},$ и на этом выплыть?

type2b в сообщении #1100229 писал(а):

Если мы заранее знаем, что она _всегда_ либо симметрична, либо антисимметрична, то отсюда мы можем узнать тип симметрии. Сам же факт, что она обязана всегда обладать симметрией, таким рассуждением, вроде, не докажешь в принципе.

А это и в релятивистском случае не так. Просто там любая частица порождает вторичное квантование и сколько угодно своих копий. Но если мы просто имеем два электрона, то мы отнюдь не можем сказать, что это не два электрона двух разных типов, $e_a$ и $e_b,$ и никакой симметрии и тождественности между ними нет. Просто каждому будет отвечать своё поле. Ну и то, что электронов всего один тип, остаётся чисто экспериментальным фактом. (А вот если бы их было несколько разных, можно было бы их посмешивать, и ещё как-нибудь развлечься.)

-- 18.02.2016 19:11:43 --

Из сборника "Физики продолжают шутить":

Цитата:

Г. Дж. Липкин
Перечень типовых экзаменационных вопросов для аспирантов-физиков

...
4. Свойства симметрии. Исследуйте свойства уравнения Дирака по отношению к вращению:
а) когда вращается доска, на которой уравнение написано;
б) когда вращается физик, исследующий это уравнение.
...

При всей юмористичности формулировки, вполне нормальный вопрос (ну почти).

[Red_Herring]

WolfAlone в сообщении #1100368 писал(а):

Пространство вроде как всегда определялось независимо от гамильтониана и операторов. Его элементы - это многокомпонентные функции. Причем тут спиноры?

Спиноры здесь при том что это не просто гильбертово пространство, а пространство на котором действуют операции "вращения системы координат" $\psi \mapsto T_Q \psi(Qx)$, где $Q$ матрица вращения системы координат а $T_Q$ соответствующая матрица вращения спиноров, причем в случае полуголого спина эта матрица с точностью до знака

[WolfAlone]

Книжки меня учили, что $L_2$-пространства - это пространства числовых объектов: функций, быть может многокомпонентных. И как эти функции могут вдруг начать "вращаться", даже в каком-то смысле, мне не понятно. Да и вообще, они вроде все эквивалентны. И где и в каком из них есть нечто вращения?

[Red_Herring]

WolfAlone в сообщении #1100497 писал(а):

Книжки меня учили, что $L_2$-пространства - это пространства числовых объектов: функций, быть может многокомпонентных.

В какой книжке написано что функция "числовой объект"? И почему обязательно областью значения функции д.б. число или их набор?

Но дело не в этом. Просто на пространстве м.б. дополнительная структура, которую я и описал. Вот посмотрите, даже в обычной электродинамике напряженность поля в точке это вектор в том же пространстве, и потому при вращении системы координат этот вектор меняется определенным образом. То же касается вектора скорости в МСС

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1100497 писал(а):

Книжки меня учили, что $L_2$-пространства - это пространства числовых объектов: функций, быть может многокомпонентных. И как эти функции могут вдруг начать "вращаться", даже в каком-то смысле, мне не понятно.

Если вы имеете функцию $f(x,y),$ то повернув её вокруг начала координат на угол $\alpha,$ вы получите функцию

$$g(x,y)=f(x\cos\alpha+y\sin\alpha,-x\sin\alpha+y\cos\alpha).$$

Аналогично тому, как функция $f(-x,-y)$ называется отражением исходной функции относительно начала координат, $f(x-a,y-b)$ - сдвигом, и так далее.

Для функции, которая считается вектором, $\mathbf{f}(x,y)=(f_x,f_y),$ такой поворот подразумевает не только изменение аргумента функции, но и изменение её значения по аналогичному закону. То же касается тензоров, спиноров и т. д.

[Cos(x-pi/2)]

А давайте зададим ТС-у тест-вопрос; если не ответит, то путь его однозначный: идти читать азы в учебниках.


WolfAlone

Пусть электрон находится в атоме водорода в основном состоянии со спином вдоль оси $z.$ Тогда компоненты волновой функции, описывающей состояние электрона по отношению к спинорному базису $|\uparrow_z\rangle,$ $|\downarrow_z\rangle,$ можем записать в виде:

$\psi_1=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-r},$

$\psi_2=0,$

где $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$ боровский радиус принят за единицу длины.

Вопрос Вам: чему равны компоненты $\psi_{1}',$ $\psi_{2}',$ этого же спинора по отношению к базису $|\uparrow_{z'}\rangle,$ $|\downarrow_{z'}\rangle$, повёрнутому вокруг оси $y$ на угол 60° (или в общем случае, на угол $\theta$) ?

Тот же вопрос "на языке эксперимента": какова вероятность обнаружить этот электрон со спином вдоль оси $z',$ составляющей с осью $z$ угол 60° (или, в общем случае, угол $\theta$) ?

[Alex-Yu]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1100523 писал(а):

то путь его однозначный: идти читать азы в учебниках.

Не поможет. Тут не в учебниках дело, проблема намного глубже. Да и как именно "крутятся" спиноры, в данном случае (!) вопрос довольно второстепенный.

[type2b]

Я поддерживаю предложение Cos(x-pi/2). Чтобы прекратилась эта сказка про белого бычка, надо попросить ТС что-нибудь посчитать и продемонстрировать, что он понимает (или не понимает) те понятия, которыми пользуется.

[WolfAlone]

Ну насколько я понимаю, это не очень сложно. Тоже самое, что и повернуть двумерный вектор, только матрица другая, содержит $\sigma$-матрицу Паули.

$$\Psi'=\cos\varphi+i\sigma\sin\varphi. $$

Матрицы Паули я не помню, никогда не мог запомнить, но одна из них - это кажется $\big(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0 \end{smallmatrix}\big)$. Вот теперь вставляйте сюда ваши $\varphi=30^\circ$

[type2b]

Вот в этом вся и проблема в этой ветке, что Вы всё делаете тяп-ляп, и вопросы формулируете кое-как, и ответы наши Вам читаете кое-как. Так невозможно ничего понять и ничего объяснить. Все утверждения должны быть точными, иначе никакое понимание в науке невозможно.

Слева в формуле что? Волновая функция? У неё сколько компонент должно быть? А почему тогда в правой части равенства стоит матрица?

Матрицы Паули Вы можете найти в любом учебнике по квантовой механике. Но мне не жалко написать:

$$ \sigma_x=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\,,\quad \sigma_y=\left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}\right)\,,\quad \sigma_z=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\,.$$

Я уж не говорю про такие мелочи, что Вас просили повернуть на $60^\circ$, а Вы почему-то пишете про $30^\circ$.

Для продолжения разговора ждем четкий и полный ответ на поставленный вопрос.

[WolfAlone]

Red_Herring в сообщении #1100505 писал(а):

В какой книжке написано что функция "числовой объект"? И почему обязательно областью значения функции д.б. число или их набор?

Под числовым объектом я имел в виду числовые (многокомпонентные) функции. Пусть это и будут элементы нашего $L_2$. Для них указываем правило вычисления скалярного произведения и все. Получаем некоторое гильбертово пространство. Любые функции, лишь бы они удовлетворяли аксиомам этого пространства, будут давать некоторое квантмеханическое состояние. Потом там выделяем симметричные и антисимметричные состояния. Все остальное, как я понимаю, к самому пространству отношения не имеет. Это уже следствия дифференциальных уравнений, решениями которых являются эти состояния.

-- 19.02.2016, 12:31 --

Я очень спешил и фактически не посмотрел на то, что кликнул. Исправлять поздно и система уже не дает и интернет как назло отрубается. Вот более аккуратное.

$$\Psi'=(E\cos\theta/2+i\sigma_z\sin\theta/2)\Psi.$$

Вставляем сюда вашу матрицу $\sigma_z$, вместо $\theta=60^\circ$ и вместо $\Psi=(\psi_1,\psi_2)$. Умножаем, складываем и получаем новые волновые функции $\Psi'=(\psi'_1,\psi'_2)$. Забыл, $E$ - это единичная матрица. И еще, общим множителем, кажется, константа Планка. Насколько меня учили, это преобразование не имеет отношения к ограничению на компоненты сами функции $\psi_1(x),\psi_2(x)$. Функции есть решения диф уравнений, а это пространство - это внешнее ограничение на класс их решений. Они там всегда какие-нибудь есть: непрерывные, ограниченные и т.д.

-- 19.02.2016, 12:33 --

$30^\circ=60^\circ/2$.

[WolfAlone]

Интернет постоянно грохается. Невыносимо

[amon]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1100523 писал(а):

Вопрос Вам: чему равны компоненты $\psi_{1}',$ $\psi_{2}',$ этого же спинора по отношению к базису $|\uparrow_{z'}\rangle,$ $|\downarrow_{z'}\rangle$, повёрнутому вокруг оси $y$ на угол 60° (или в общем случае, на угол $\theta$) ?

WolfAlone в сообщении #1100595 писал(а):

Вот более аккуратное.

$$\Psi'=(E\cos\theta/2+i\sigma_z\sin\theta/2)\Psi.$$

Как, однако, все запущено... Надо бросать обсуждать высокие материи, и садиться читать учебники.

[WolfAlone]

Munin в сообщении #1100510 писал(а):

Если вы имеете функцию $f(x,y)$

У нас есть не функция, а решение $\Psi=f(x,y)$ ДУ. Эти $\Psi$ меняют значения ("поворачиваются"), а функции $f(x,y)$, какие угодно, просто элементы нашего $L_2$. Там лежат и $f(x,y)$ и всякие другие, которые получились от каких-то внешних действий по отношению к $L_2$. Оно просто множество, где лежат решения ДУ, а сами ДУ описывают нашу физику. Спинор, как я понимаю, оттуда, а не из $L_2$. $L_2$ и без спиноров вполне определено.

-- 19.02.2016, 13:47 --

amon в сообщении #1100615 писал(а):

Как, однако, все запущено... Надо бросать обсуждать высокие материи, и садиться читать учебники.

Ну подробнее отвечать мне не удалось от вас добиться. Не будет, наверно, и сейчас.

[Red_Herring]

WolfAlone в сообщении #1100595 писал(а):

Под числовым объектом я имел в виду числовые (многокомпонентные) функции. Пусть это и будут элементы нашего $L_2$. Для них указываем правило вычисления скалярного произведения и все

Это взгляд плохого начального курса абстрактного функанализа. В нормальном начальном курсе функция определена на элемента абстрактного пространства $\Omega$ с мерой, а значения у нее в конечномерном или бесконечномерном гильбертовом пространстве $K$.

Если же мы хотим применять это к физике, геометрии или УЧП, то надо понять что то это самое пространство $K$ не имеет естественного отождествления с набором чисел, но имеет интимную связь с $\Omega$. Набор чисел это например: температура, давление и плотность; а скорость это не просто набор трех чисел, а вектор (и это же касается напряженности электрического поля и т.д.). А деформации в МСС среды описываются тензором деформаций, а набором чисел описывается только в конкретной системе координат.